Bonjour, je dois étudier la position relative de 2 courbes de $C_{n}$ et $C_{n-1}$ à partir de la fonction $ f_{n}(x) = \frac{ x^{n} e^{-x} }{n!} $, je sais que je dois faire $ f_{n}(x)- f_{n-1} (x)$ mais je n'y arrive pas ...
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance
Position de 2 courbes
Re: Position de 2 courbes
Bonjour
$f_n(x)-f_{n-1}(x)=\frac{x^n e^{-x}}{n!} -\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}=\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}(\frac{x}{n}-1)=\frac{x^{n-1}e^{-x}}{n!} (x-n)$
La différence s'annule pour $x=0$ et $x=n$. Donc les courbes ont 2 points de contact d'abscisses respectives 0 et $n$.
Il faut distinguer 2 cas suivant la parité de $n$.
1) Si $n$ est impair, $n-1$ est pair donc $\forall x\in {\mathbb R}^*, x^{n-1}>0$. La différence a donc le signe de $x-n$.
On en déduit que si $x<n$, la différence est négative donc $C_n$ est en dessous de $C_{n-1}$ et si $x>n$ la différence est positive donc $C_n$ est au-dessus de $C_{n-1}$.
2) Si $n$ est pair, $n-1$ est impair donc $x^{n-1}$ a le signe de $x$ et la différence a donc le signe du trinôme $x(x-n)$
Si $x<0$ ou $x>n$ la différence est positive donc $C_n$ est au-dessus de $C_{n-1}$ et si $0<x<n$, la différence est négative et $C_n$ est en dessous de $C_{n-1}$
$f_n(x)-f_{n-1}(x)=\frac{x^n e^{-x}}{n!} -\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}=\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}(\frac{x}{n}-1)=\frac{x^{n-1}e^{-x}}{n!} (x-n)$
La différence s'annule pour $x=0$ et $x=n$. Donc les courbes ont 2 points de contact d'abscisses respectives 0 et $n$.
Il faut distinguer 2 cas suivant la parité de $n$.
1) Si $n$ est impair, $n-1$ est pair donc $\forall x\in {\mathbb R}^*, x^{n-1}>0$. La différence a donc le signe de $x-n$.
On en déduit que si $x<n$, la différence est négative donc $C_n$ est en dessous de $C_{n-1}$ et si $x>n$ la différence est positive donc $C_n$ est au-dessus de $C_{n-1}$.
2) Si $n$ est pair, $n-1$ est impair donc $x^{n-1}$ a le signe de $x$ et la différence a donc le signe du trinôme $x(x-n)$
Si $x<0$ ou $x>n$ la différence est positive donc $C_n$ est au-dessus de $C_{n-1}$ et si $0<x<n$, la différence est négative et $C_n$ est en dessous de $C_{n-1}$
Re: Position de 2 courbes
Ok merci ! 