Application linéaire 4 (dernier)

[youcef-ait]

Rebonjour $Job$,

Donc là on arrive à mon dernier exercice TD de la feuille.



1. J'ai vu sur internet qu'on calcule d'abord le déterminant de la matrice car si il est nul, le noyau se résume au vecteur nul (0 ; 0 ; 0)

$A =
\left(\begin{matrix}
-2&1&1\\
1&-2&1\\
1&1&-2
\end{matrix}\right)$

$det A = -2 \times \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} -1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}$

$det A = -6 + 3 + 3 = 0$

Donc le noyau de f est le vecteur nul de $R^3 (0 ; 0 ; 0)$.

$dim\, Ker(f) = 1$, donc : $dim \,Im(f) = dim\,(R^3) - dim\, Ker(f) = 3 - 1 = 2$

Comme le déterminant est nul, donc les vecteurs qui la composent sont liés et on remarque que :

$\left(\begin{matrix}-2\\ 1\\1\end{matrix}\right) = - 1 \times \left(\begin{matrix}1\\ -2\\1\end{matrix}\right) - 1 \times \left(\begin{matrix}1\\ 1\\-2\end{matrix}\right)$

On peut donc retirer la colonne 1, et :

$Im \, (f) = Vect ( \left(\begin{matrix}1\\ -2\\1\end{matrix}\right) ; \left(\begin{matrix}1\\ 1\\-2\end{matrix}\right)$ )


2. J'ai vraiment eu du mal à trouver quelque chose de concret sur internet, j'ai peut-être trouvé quelque chose sur les matrices de passage, donc :

$e_1 = i - j$
$e_2 = j- k$
$e_3 =i + j + k$

Je déduis la matrice de passage $P$ :

$P = \left(\begin{matrix}
1&0&1\\
-1&1&1\\
0&-1&1
\end{matrix}\right)$

Donc je suppose que :

$A' = A \times P = \left(\begin{matrix}
-2&1&1\\
1&-2&1\\
1&1&-2
\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}
1&0&1\\
-1&1&1\\
0&-1&1
\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}
-3&0&0\\
-3&-3&0\\
0&3&0
\end{matrix}\right)$

Je ne sais pas si c'est correct, si vous avez une méthode plus simple je suis preneur.

[Job]

1) Le déterminant de $A$ est bien nul mais cela ne donne pas $\ker(f)$. Cela montre que $f$ n'est pas bijective et donc que $\ker (f)$ ne se réduit pas au vecteur nul.
On écrit l'image d'un vecteur quelconque et pour obtenir le noyau, cette image doit être nulle.
$\left(\begin{matrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2x+y+z\\x-2y+z\\x+y-2z\end{matrix}\right)$

On résout $\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y+z&=&0\\x-2y+z&=&0\\x+y-2z&=&0\end{array}\right.$
Le système est équivalent à $x=y=z$ donc $\ker (f)=\{(t,t,t)\ t\in {\mathbb R}\}$

Pour $Im (f)$ c'est bon.

2) La matrice de passage est exacte mais ensuite la formule utilisée est fausse : $A'=P^{-1}A P$ donc pour utiliser cette méthode, il faut savoir inverser la matrice $P$. Il y a plusieurs méthodes mais je pense que vous ne les avez pas vues donc il est plus simple d'utiliser une autre méthode.
On exprime $f(e_1)$ en fonction de $e_1,\ e_2,\ e_3$

$f(e_1)=f(i)-f(j)=-2i+j+k-i+2j-k=-3i+3j=-3(i-j)=-3e_1$
De même $f(e_2)=-3j+3k=-3(j-k)=-3e_2$ et $f(e_3)=0$
On a donc $A'=\left(\begin{matrix}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&0\end{matrix}\right)$

Ici les calculs étaient simples. Dans un cas plus compliqué, il aurait fallu exprimer $i,\ j,\ k$ en fonction de $e_1,\ e_2,\ e_3$, ce qui revient à inverser la matrice $P$.

[youcef-ait]

C'est une formule que je n'ai pas encore vu dans le chapitre des applications linéaires mais il me semble l'avoir déjà croisée dans le chapitre des matrices, j'ai envie de tenter la formule $A' = P^{-1}AP$

Vous m'avez dit que pour trouvez $P^{-1}$ il fallait inverser ce système :
$e_1 = i - j$
$e_2 = j- k$
$e_3 =i + j + k$

Je trouve :

$i =\frac{1}{3}(2e_1 + e_2 + e_3) $
$j= \frac{1}{3}(-e_1 + e_2 + e_3) $
$k =\frac{1}{3} (-e_1 - 2e_2 + e_3)$

Donc :

$P^{-1} = \frac{1}{3} \left(\begin{matrix}2&-1&-1\\1&1&-2\\1&1&1\end{matrix}\right)$

$A' = P^{-1}AP = \frac{1}{3} \left(\begin{matrix}2&-1&-1\\1&1&-2\\1&1&1\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 1&0&1\\ -1&1&1\\ 0&-1&1 \end{matrix}\right)$

Et je trouve bien :

$A' =\left(\begin{matrix}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&0\end{matrix}\right)$

Si c'est une technique qui marche souvent, je préfère passer par là.

Je vous remercie d'avoir le temps et le soin de répondre à chacun des posts pendant ce week end $Job$. Vous m'avez beaucoup éclairé.