Exercice courbes paramétrées

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Thamirah17
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Exercice courbes paramétrées

Message par Thamirah17 » 08 mars 2021, 07:50

Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.
Je vous remercie
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Re: Exercice courbes paramétrées

Message par Job » 08 mars 2021, 16:22

Bonjour

$x'(s)=-2\cos (s) \sin^2 (s) +\cos (s) (1+\cos^2 (s))=\cos (s) (-2\sin^2(s)+1+\cos^2(s))=\cos (s)(3\cos^2(s)-1)$

$y'(s)=2\sin (s) \cos^2(s)-\sin^3 (s)=\sin (s) (2\cos^2 (s) -\sin^2 (s))=\sin(s)(3\cos^2 (s) -1))$

$x'^2(s) +y'^2 (s) =(3\cos^2 (s) -1))^2$

$\displaystyle L=\int_0^{\pi} |3\cos^2 (s)-1|ds=\int_0^{\pi}|2-3\sin^2(s)|ds$

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Re: Exercice courbes paramétrées

Message par Job » 08 mars 2021, 17:24

Sur $[0,\pi],\ \sin(s)\geq 0$.
$2-3\sin^2(s)\geq 0$ pour $\sin^2(s)\leq \frac{2}{3}$ soit $\sin (s) \leq \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt 6}{3}$
Soit $a=\arcsin \sqrt {\frac{2}{3}}=\arcsin (\frac{\sqrt 6}{3})$
$2-3\sin^2 (s)\geq 0$ pour $\sin (s) \leq \sin (a)$ soit $s\in [0,a] \cup [\pi -a, \pi]$
$2-3\sin^2 (s)\leq 0$ pour $\sin (s) \geq \sin (a)$ soit $s\in [a,\pi -a]$

Il faut donc découper l'intervalle d'intégration en 3 sur les 3 intervalles précédents.

D'autre part $2-3\sin^2 (s) =2-3(\frac{1-\cos (2s)}{2})=-\frac{1}{2} +\frac{3}{2} \cos (2s)$

$\displaystyle \int_0^{a} (-\frac{1}{2} +\frac{3}{2}\cos (2s))ds=[-\frac{1}{2} s +\frac{3}{4} \sin (2s)]_0^{a}=-\frac{1}{2} a +\frac{3}{4} \sin (2a)$

$\sin (2a) =2\sin (a) \cos (a)$
$\cos^2(a)=1-\sin^2 (a)=1-\frac{2}{3} =\frac{1}{3}$ donc $\sin (2a)=2\sqrt {\frac{2}{3}}\sqrt {\frac{1}{3}}= \frac{2\sqrt 2}{3}$
$\displaystyle \int_0^{a} (-\frac{1}{2} +\frac{3}{2}\cos (2s))ds=-\frac{1}{2}\arcsin (\sqrt {\frac{2}{3}} + \frac{\sqrt 2}{6}$

Il faut maintenant faire le même type de calcul sur les intervalles $[\pi -a , \pi]$ et $[a, \pi -a]$ puis ajouter les 3 longueurs obtenues.

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