devoir maison

[nico033]

Bonsoir Job,

Pourriez vous m'aider sur le devoir maison suivant et notamment les exercices 3, 4, 5, 6

[nico033]

Bonjour Job,

Merci pour votre aide, car j'ai re essayé hier , et je n'ai pas reçu à faire les DL , et même la dérivée nème

[Job]

Bonjour nico

Exercice 4

On peut faire une démonstration par récurrence.
C'est vérifié pour $n=0$
On suppose vérifié jusqu'au rang $n$.
$x^n e^{\frac{1}{x}}=x(x^{n-1}e^{\frac{1}{x}})$
On a un produit de fonctions avec $g(x)=x$ et $h(x)=x^{n-1}e^{\frac{1}{x}}$
En appliquant le formule de Leibniz :
$(g(x)h(x))^{(n+1)}={(n+1)\choose 0}(x)(x^{n-1}e^{\frac{1}{x}})^{(n+1)}+{(n+1)\choose 1} (1) (x^{n-1}e^{\frac{1}{x}})^{(n)}$
$=x[(x^{n-1}e^{\frac{1}{x}})^{(n)}]'+(n+1)(x^{n-1}e^{\frac{1}{x}})^{(n)}$
En utilisant l'hypothèse de récurrence on obtient :
$x[(-1)^n x^{-(n+1)}e^{\frac{1}{x}}]' +(n+1)(-1)^n x^{-(n+1)} e^{\frac{1}{x}}$
$=x(-1)^n [-(n+1) x^{-(n+2)}e^{\frac{1}{x}} +x^{-(n+1)} (-\frac{1}{x^2})e^{\frac{1}{x}}]+(-1)^n (n+1) x^{-(n+1)} e^{\frac{1}{x}}$
Le premier et le troisième terme se neutralisent, il reste :
$(-1)^{n+1}x^{-(n+2)}e^{\frac{1}{x}}$

[nico033]

Bonsoir Job,

OK je vais regarder !

Pourriez vous m'aider sur l'exercice 5, et 6 , car je bloque totalement (

Merci à vous ,

Bonne soirée

[Job]

Bonjour nico

Exercice 5

1) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$

2) $e^0=1$. Il faut se ramener à un voisinage de 0.

$1+e^x=1+1+x+\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$\displaystyle \frac{1}{1+e^x}=\frac{1}{2+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} +o(x^3)}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{1+\frac{x}{2} +\frac{x^2}{4} +\frac{x^3}{12} +o(x^3)}$

On peut alors utiliser le DL de $\frac{1}{1+y}$ avec $y=\frac{x}{2} +\frac{x^2}{4} +\frac{x^3}{12} +o(x^3)$.
On a $\frac{1}{2} (1-y+y^2-y^3+o(y^3))$ soit en ne conservant que les termes de degré $\leq 3$ :

$\frac{1}{2} [ 1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4} -\frac{x^3}{12}+\frac{x^2}{4} +\frac{x^3}{4} -\frac{x^3}{8} +o(x^3)]$

$=\frac{1}{2} -\frac{x}{4} +\frac{x^3}{48} +o(x^3)$

[Job]

Exercice 6

1) $exp (x-1)=e^{-1}\times e^x=e^{-1}(1+x+\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6} +o(x^3)$
$=e^{-1} +e^{-1}x +e^{-1} \frac{x^2}{2}+e^{-1} \frac{x^3}{6} +o(x^3)$

2) On pose $x=-1+h$. En utilisant le résultat précédent :

$e^x=e^{-1} +e^{-1} h +e^{-1} \frac{h^2}{2} +e^{-1} \frac{h^3}{6} +o(h^3)$

On revient à $x$ .
$h=x+1$ donc $e^x=e^{-1}+e^{-1} (x+1) +e^{-1}\frac{(x+1)^2}{2} +e^{-1} \frac{(x+1)^3}{6} +o(x+1)$

[nico033]

Bonsoir Job,

Merci bcp , je vais étudier tout ça !

Pouvez vous me dire pour l'exercice 3 svp?

Bonne soirée et bon weekend ,

[Job]

Bonjour nico

Exercice 3

On va utiliser la formule de Leibniz
$f(x)=g(x)h(x)$ avec $g(x)=x^{n-1}$ et $h(x)=\ln (1+x)$

Il faut commencer par démontrer par récurrence :
si $\displaystyle k\leq n-1,\ g^{(k)}(x)=(n-1)\cdots (n-k) x^{n-1-k}=\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}x^{n-1-k}$ et $g^{(n)}(x)=0$
si $\displaystyle k\geq 1,\ h^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{(1+x)^k}$

Avec la formule de Leibniz :
$\displaystyle f^{n)} (x) =\sum_{k=0}^n {n\choose k} g^{(k)}(x) h^{(n-k)}(x)$
$\displaystyle f^{(n)}(x) =\sum_{k=0}^{n-1} {n\choose k} \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!} x^{n-1-k} \times \frac{(-1)^{n-1-k} (n-1-k)!}{(1+x)^{n-k}}$
$\displaystyle f^{(n)}(x)=(n-1)! \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k} \frac{(-x)^{n-1-k}}{(1+x)^{n-k}}$
$\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!}{-x} \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}(\frac{-x}{1+x})^{n-k}$

Avec la formule du binôme :
$\displaystyle f^{(n)}(x)=-\frac{(n-1)!}{x} \left( (1-\frac{x}{1+x})^n-1\right)$
((-1) car il manque le terme en $n$.