bonjour
une idée pour étudier
$ \sum \limits_{n\geq 2} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{\sqrt{\ln n}}}} $
nature d'une série
nature d'une série
Dernière modification par mt2sr le 21 décembre 2020, 11:07, modifié 1 fois.
Re: nature d'une série
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Re: nature d'une série
$\dfrac{(\ln n)^2}{n^{1/\sqrt{\ln n}}}=\exp\bigl(2\ln(\ln n)-\sqrt{\ln n}\bigr)\to0$ par croissances comparées.
On en déduit que $\dfrac1{n^{1/\sqrt{\ln n}}}=o\Bigl(\dfrac1{(\ln n)^2}\Bigr)$ et donc que $u_n=o\Bigl(\dfrac1{n(\ln n)^2}\Bigr)$.
Or la série $\displaystyle\sum\dfrac1{n(\ln n)^2}$ converge (c'est une série de Bertrand, cela se montre par comparaison à une intégrale) donc la série $\displaystyle\sum u_n$ converge.
On en déduit que $\dfrac1{n^{1/\sqrt{\ln n}}}=o\Bigl(\dfrac1{(\ln n)^2}\Bigr)$ et donc que $u_n=o\Bigl(\dfrac1{n(\ln n)^2}\Bigr)$.
Or la série $\displaystyle\sum\dfrac1{n(\ln n)^2}$ converge (c'est une série de Bertrand, cela se montre par comparaison à une intégrale) donc la série $\displaystyle\sum u_n$ converge.
Re: nature d'une série
merci pour l'aide