Proba

[DaveMaths45]

Bonsoir j'ai vraiment besoin d'aide pour ces deux questions,

Trois amis A1, A2, A3, ont décidé d'aller explorer une région peu connue et peu saine de la forêt amazonienne. Plusieurs maladies sévissent dans la région, ils se font vacciner avant leur départ. Toutefois, leur médecin les préviens que si l'un d'entre eux contracte le germe des maladies G1, le vaccin n'est efficace qu'à 80%, et s'il contracte le germe de la maladie G2 le vaccin n'est efficace qu'à 60%. On suppose l'indépendance mutuelle des efficacités des vaccins et des réactions des trois amis.

1) Supposons que la probabilité de contracter le germe de la maladie G1= 1/3, et =1/2 pour la maladie G2, quelle est la proba pour que le 2e ami reste en bonne santé?
2) Sous les mêmes hypothèses, quelle est la proba pour que deux ethnologues exactement tombent effectivement malades?

Merci beaucoup d'avance,

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je veux bien essayer de vous aider mais pas le faire à votre place. Il y a des forums qui font ça.
Un indice : calculer la probabilité que le vaccin be soit pas efficace.

[Job]

Bonjour

Si on formalise le texte, on a donc $P(G_1)=\frac{1}{3}$ et $P(G_2)=\frac{1}{2}$

D'autre part : soit $M$ l'événement "être malade"
Probabilité d'être malade sachant qu'on a contacté la maladie $G_1$ : $P(M/G_1)=0,2=\frac{1}{5}$
Probabilité d'être malade sachant qu'on a contacté la maladie $G_2$ : $P(M/G_2)=0,4=\frac{1}{5}$

Mais le texte n'est pas suffisamment clair :
Peut-on contacter, à la fois, $G_1$ et $G_2$ ?
Pour la première question, je pense qu'il faut supposer qu'un des amis est malade (??)

[DaveMaths45]

Merci de vos réponses.

>Job
C'est bien ça, cependant, deux questions ont été posées avant ça:
0) Si A1 contracte le germe de maladie G1 et celui de la maladie G2, quelle est la probabilité pour qu’il ne soit pas malade ? (on suppose l’indépendance des réactions à ‘un et l’autre germe)
Ici, on nous dit clairement qu'il y a indépendance, donc on peut multiplier les deux proba: P(G1⋂G2)=P(G1)xP(G2).

0bis) Si les trois amis contractent chacun le germe de la maladie G2, quelle est la probabilité pour que l’un au moins d’entre eux reste en bonne santé ?
Ici, on regarde l'évènement contraire c'est-à-dire que tous soient malade, en prenant en compte dans le résultat final la contraction du germe G2 (60%)

Par contre pour la question 1) où je vous ai demandé de l'aide, comme dans la question 0), on ne considère qu'un ami et pas les 3 comme dans la question 0bis), ainsi, je ne sais pas comment appréhender cette question.

[Job]

Bonjour

Je reprends les différentes questions.

Question 0
Pour que A1 ne soit pas malade, il faut que les 2 vaccins soient efficaces, comme ils sont indépendants, la probabilité est donc
0,8 x 0,6 = 0,48.

Question 0 bis
Les 3 amis sont malades, si, pour chacun le vaccin a été inefficace donc avec une probabilité de $0,4^3=0,064$
Donc la probabilité pour qu'au moins l'un d'entre eux reste en bonne santé est $1-0,064=0,936$

Question 1
Par hypothèse A1 a contacté G1 et G2.
Soit M l'événement A2 est malade.
A2 est malade avec G1 (G2) , si il a contacté G1 (G2) et que le vaccin correspondant est inefficace.
$P(M\cap G_1)=P(M/G_1)\times P(G_1)=\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{15}$
$P(M\cap G_2)=P(M/G_2)\times P(G_2)=\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$
Si on suppose que contacter G1 et contacter G2 sont des événements indépendants, il en est de même de $M\cap G_1$ et $M\cap G_2$
Donc $P[(M\cap G_1)\cap (M\cap G_2)]=\frac{1}{15} \times \frac{1}{5} =\frac{1}{75}$
A2 peut être malade avec G1 ou G2 ou les deux :
$P(M)=P[(M\cap G_1)\cup (M\cap G_2)]=\frac{1}{15} +\frac{1}{5} -\frac{1}{75}=\frac{19}{75}$
Donc la probabilité que A2 reste en bonne santé est : $1-\frac{19}{75} =\frac{56}{75}$

Question 2 (question peu claire : les mêmes hypothèses ??)
Si, comme dans la question précédente, on part de l'hypothèse qu'on tombe malade avec une probabilité de $\frac{19}{75}$, on est en présence d'une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\frac{19}{75}$ et on fait le calcul avec $k=2$.

[DaveMaths45]

>Job

Merci beaucoup pour la réflexion.
Pour la question 2, c'est bien en utilisant les mêmes hypothèses que la question 1 donc à savoir la loi binomiale pour k=2 et ses paramètres correspondants.

Par contre pour la question 0bis) : 1−0,064=0,936 , il ne faut pas oublier de multiplier par 60% pour l'efficacité du vaccin G2: 0,936*0,60 = 0,5616
Mais j'ai résonné d'une autre manière en prenant les résultats possibles, à savoir:
-A1, A2 malade (A3 en forme)
-A1, A3 malade (A2 en forme)
-A2, A3 malade (A1 en forme)
-A1, A2 en forme (A3 malade)
-A1, A3 en forme (A2 malade)
-A2, A3 en forme (A1 malade)
-A1, A2, A3 malade
-A1, A2, A3 en forme
Cela fait 8 possibilités donc si on prend l'évènement tous sont malades, on aura 1/8 et pour que l'un au moins d'entre eux soit malade -> l'inverse 7/8*0,60 = 0,525
Qu'en penses-tu?!

[Job]

Bonjour

Je ne suis pas d'accord.

En ce qui concerne ma réponse , j'ai bien tenu compte du vaccin en utilisant le fait que si il est efficace à 60%, il est inefficace à 40% donc les 3 amis ayant contacté le germe de G2, ils sont tous les 3 malades si, pour les trois, le vaccin est inefficace et comme il y a indépendance des réactions donc la probabilité qu'ils soient tous les trois malades est bien $0,4^3=0,936$

En ce qui concerne ton raisonnement, la conclusion est incorrecte car les 8 possibilités ne sont pas équiprobables.
Pour que 2 amis soient malades (A1 , A2) et le troisième A3 en forme , il faut que le vaccin soit efficace une fois et inefficace 2 fois donc une probabilité de $0,6\times 0,4^2=0,096$ (même chose pour les 2 autres cas identiques)
Avec le même raisonnement, pour que A1 et A2 soient en forme et A3 malade, la probabilité est $0,6^2\times 0,4=0,144$
Pour que A1, A2, A3 soient en forme, la probabilité est $0,6^3=0,216$
En faisant le bilan, pour que l'un au moins soit en forme, on a une probabilité de :
$0,096\times 3 +0,144\times 3 +0,216=0,936$