Proportion exo

[Arrafrederic]

Bonsoir j'ai un exercice dans le quelle la détermination de la taille de la population me pose problème. J'aimerais avoir de l'aide Merci beaucoup pour votre compréhension.

[Job]

Bonjour

Il existe plusieurs tests possibles : $X^2$, utilisation de la loi normale,... Je ne sais pas ce que vous avez vu.

Question 1 : en utilisant la loi normale.
Soit $\pi$ la proportion théorique : $\pi =0,3$ et $p$ la proportion observée : $p=\frac{12}{50}=0,24$
$n\pi =50\times 0,3 =15>5$ et $n(1-\pi)=50\times 0,7 =35>5$

On teste l'hypothèse $H_0\ ;\ p=\pi$ et $H_1\ :\ p\neq \pi$
Sous l'hypothèse $H_0$, $Z=\frac{F-0,3}{\sqrt{\frac{0,3\times 0,7}{50}}}$ suit la loi normale centrée réduite.

On prend comme seuil de rejet de $H_0$ : $\alpha =0,05$

On détermine l'intervalle dans lequel on accepte $H_0$ :
$\left[0,3 -1,96\sqrt{\frac{0,3\times 0,7}{50}} , 0,3+\sqrt{\frac{0,3\times 0,7}{50}}\right]=[0,173\ ;\ 0,427]$

$p=0,24$ appartient à l'intervalle donc on accepte $H_0$

Autre méthode de calcul : $z_{obs}=\frac{0,24-0,3}{\sqrt{\frac{0,3\times 0,7}{50}}}=-0,925$.
|-0,925|<1,96 donc on accepte $H_0$

La proportion de l'échantillon ne diffère pas significativement de celle de la population.

[Arrafrederic]

Merci beaucoup job.Mais j'aimerais savoir pourquoi l'erreur type utilisé est celui de la proportion théorique divisé par la taille de l'échantillon et non les données observés divisées par la taille de l'échantillon(50)?

[Job]

Merci beaucoup job.Mais j'aimerais savoir pourquoi l'erreur type utilisé est celui de la proportion théorique divisé par la taille de l'échantillon et non les données observés divisées par la taille de l'échantillon(50)?

C'est parce qu'on se place, à priori, dans l'hypothèse où $H_0$ est vraie donc on utilise l'écart-type correspondant à la proportion théorique.
Quand cet écart-type n'est pas connu on peut le remplacer par son estimation ponctuelle obtenue à partir de l'échantillon.

[Arrafrederic]

Ok sans problème Merci beaucoup Job