Révision pour les partiels

[harith]

Bonjour
Vous pouvez m'aidez s'il vous plait.

[Job]

Bonjour

Exercice 9

2) $\forall k\in \{0,\cdots 10\}, P(X=k)={10\choose k}0,1^k\times 0,9^{10-k}\ ;\ P(Y=k)={10\choose k}0,5^k\times 0,5^{10-k}={10\choose k}0,5^{10}$
$P(Z=k)={10\choose k}0,9^k\times 0,1^{10-k}$

$\forall k\in {\mathbb N}, P(U=k)=e^{-1}\frac{(-1)^k}{k!}\ ;\ P(V=k)=e^{-5}\frac{(-5)^k}{k!}$

Pour les diagrammes en bâtons, il faut prendre les différentes valeurs de $k$.

Pour la fonction de répartition, $F(x)=P(X\leq x)$ , c'est une fonction en escalier croissante donc par exemple, sur l'intervalle ]3 , 4],
$\forall x \in ]3 , 4], F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

3) Pour une loi binomiale , $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$
$E(X)=10\times 0,1=1$ et $V(X)=10\times 0,1 \times 0,9=0,9$
$E(Y)=10\times 0,5=5$ et $V(Y)=10\times 0,5 \times 0,5=2,5$
$E(Z)=10\times 0,9=9$ et $V(Z)=10\times 0,9 \times 0,1=0,9$

Pour une loi de Poisson, l'espérance et la variance sont égales à $\lambda$ donc $E(U)=V(U)=1$ , $E(V)=V(V)=5$

$X$ et $U$ ont la même espérance et des variances peu différentes, $X$ pourrait être approchée par $U$.
$Y$ et $V$ ont la même espérance mais $V$ est beaucoup plus dispersée.

[Job]

Exercice 10

1) $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$
$Y$ soit la loi géométrique de paramètre $p=0,1$
$Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,1$

2) $\forall k\in \{0,\cdots , 10\}, P(X=k)={10\choose k} 0,1^k\times 0,9^{10-k}$

$\forall k\in {\mathbb N}^*,\ P(Y=k)=0,1\times 0,9^{k-1}$

3. $E(X)=np=10\times 0,1 =1$ et $V(X)=np(1-p)=10\times 0,1 \times 0,9=0,9$

$E(Y)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,1}=10$ et $V(Y)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{0,9}{0,01}=90$

$E(Z)=100\times 0,1=10$ et $V(Z)=100\times 0,1 \times 0,9=9$

4. On eut approximer la loi de $Z$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda =np=100\times 0,1=10$ car $n\geq 30,\ p\leq 0,1,\ np\leq 10$ (les conditions peuvent varier suivant les manuels, il faut voir dans votre cours)

$P(Z=k)=e^{-10} \times \frac{10^k}{k!}$
$P(Z=1)=e^{-10}\times 10\simeq 5\cdot 10^{-4}$
$P(Z=4)=e^{-10} \times \frac{10^4}{4!}\simeq 0,019$
$P(Z=10)\simeq 0,125$ et $P(Z=20)\simeq 0,0018$

[Job]

Exercice 11

1. On est en présence d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,01$
La probabilité de ne pas obtenir le faux Lacoste en $n$ lancers est ${n\choose 0}\times 0,01^0\times 0,99^n=0,99^n$
La probabilité d'obtenir au moins une fois le faux lacoste est donc : $1-0,99^n$

2. $1-0,99^n\geq 0,95$ soit $0,99^n\leq 0,05$
En utilisant la fonction $ln$ : $n\ln 0,99 \leq \ln 0,05$ soit $n\geq \frac{\ln 0,05}{\ln 0,99}$ donc $n$ au moins égal à 299.

3. On peut approximer avec une loi de Poisson de paramètre $\lambda =0,01n$
La probabilité de n'avoir aucun faux Lacoste est : $P(X=0)=\frac{1\times e^{-0,01n}}{0!}=e^{-0,01n}$
On veut que la probabilité d'en avoir au moins 1 soit supérieure à 0,95 donc :
$1-e^{-0,01n}\geq 0,95$
$e^{-0,01n}\leq 0,05$
$-0,01n\leq \ln (0,05)$
$n\geq \frac{\ln 0,05}{-0,01}\simeq 299$