L'erreur se situe là car la ligne $L_3$ a été multipliée par 9 et la ligne $L_4$ a été multipliée par 3 donc le déterminant a été multiplié par 27.anonyme a écrit : Je choisis donc $9$ comme pivot et j'effectue :
$L_3 \leftarrow 9L_3 - 8L_2$
$L_4 \leftarrow 3L_4 + 4L_2$
$\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 9 & 3 & 14 \\
0 & 0 & 3 & -49 \\
0 & 0 & 3 & -37
\end{pmatrix}$
Il fallait faire :
$L_3\leftarrow L_3-\frac{8}{9} L_2$
$L_4\leftarrow L_4+\frac{4}{3} L_2$
$\begin{pmatrix}
-1&2&1&3\\0&9&3&14\\0&0&\frac{1}{3}&-\frac{49}{9}\\0&0&1&-\frac{37}{3}\end{pmatrix}$
Ensuite : $L_4\leftarrow L_4-3L_3$
$\begin{pmatrix}
-1&2&1&3\\0&9&3&14\\0&0&\frac{1}{3}&-\frac{49}{9}\\0&0&0&4\end{pmatrix}$
Donc déterminant (-12) à multiplier par (-1).
Une autre méthode pour trigonaliser une matrice consiste à faire un changement de base après avoir déterminé les valeurs propres et les sous-espaces propres mais cela peut être un peu lourd pour une matrice 4 x 4 sauf pour certains cas particuliers.