Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Jon83
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Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Jon83 » 25 mars 2018, 18:26

Bonsoir!
Comment transformer le polynôme donné en pj, en produit de matrices ?

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Re: Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Job » 26 mars 2018, 09:11

Bonjour

Pour obtenir un polynôme, il faut multiplier une matrice (1 , n) par une matrice (n ,1).

$\left(\begin{matrix}\alpha^2&\beta^2&\gamma^2&-2\alpha \beta&-2\beta \gamma & -2\alpha \gamma \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}y^2+z^2\\x^2+z^2\\x^2+y^2\\xy\\yz\\xz\end{matrix}\right)$

Jon83
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Re: Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Jon83 » 26 mars 2018, 13:44

Merci pour ta réponse! Effectivement....
Mais j'ai oublié de préciser que je devais avoir des matrices 3x3 maxi , dont l'une devrait (c'est ce que je cherche à démontrer) la forme : voir pj
J'essaie de chercher du côté de la décomposition de formes quadratiques (?) mais je n'ai encore rien trouvé ...

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Re: Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Job » 26 mars 2018, 14:02

Je ne comprends pas, si l'une est une matrice 3 x 3, l'autre ne peut être qu'une matrice 3 x n ou n x 3 donc le produit sera une matrice 3 x n ou n x 3 donc cela ne peut pas être un polynôme.

Jon83
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Re: Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Jon83 » 26 mars 2018, 14:17

Il y a peut-être 3 matrices ?

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Re: Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Job » 26 mars 2018, 15:57

Effectivement, il faut penser aux formes quadratiques. Avec $X=(x,y,z)$ la matrice de la forme quadratique est :

$A= \left(\begin{matrix}\beta^2 +\gamma^2&-\alpha \beta & -\alpha \gamma \\ -\alpha \beta & \alpha^2 +\gamma^2 & -\beta \gamma \\ -\alpha \gamma & -\beta \gamma & \alpha^2 +\beta^2 \end{matrix}\right)$

Le polynôme est alors égal à : $^t X A X $ soit :

$\left(\begin{matrix} x & y & z \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix}\beta^2 +\gamma^2&-\alpha \beta & -\alpha \gamma \\ -\alpha \beta & \alpha^2 +\gamma^2 & -\beta \gamma \\ -\alpha \gamma & -\beta \gamma & \alpha^2 +\beta^2 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right)$

Jon83
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Re: Transformation d'un polynôme en produit de matrices

Message par Jon83 » 26 mars 2018, 16:02

Super! C'est ce que je ne retrouvais pas ....
Merci beaucoup!
Cordialement, Mikel

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