Bonjour, je cherche de l'aide pour ces exercices qui me posent des problèmes.
MERCI D'AVANCE
relation et ensemble
relation et ensemble
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Re: relation et ensemble
Bonjour
Je suppose connues les propriétés de la réunion et de l'intersection (commutativité, associativité, distributivité de l'une par rapport à l'autre) ainsi que les propriétés concernant le complémentaire d'une intersection ou d'une réunion.
Exercice 1
1) $(X_1\cup X_2)\cap (X_2\cup X_3)=X_2\cup (X_1\cap X_3)$
Le premier membre est alors : $[X_2\cup (X_1\cap X_3)]\cap (X_3\cup X_1)$
$=[X_2\cap (X_3\cup X_1)]\cup [(X_1\cap X_3)\cap (X_3\cup X_1)]$
$=(X_2\cap X_3)\cup (X_1\cap X_1)\cup (X_1\cap X_3)$ (car $X_3\cap X_1\subset X_1\cup X_3)$)
2) a) $\overline A \cup (\overline{A\cap B})=\overline A \cup (\overline A \cup \overline B)=\overline A \cup \overline B$
b) $(B\cap C) \cup C = C$ car $(B\cap C) \subset C$
$C\cup (\overline B \cap \overline C)=(C\cup \overline B) \cap (C\cup \overline C)=(C\cup \overline B) \cap E =(C\cup \overline B)$
Donc l'expression est égale à $A\cup C \cup \overline B$
c) $A\cap (\overline A \cup B)=(A\cap \overline A) \cup (A\cap B)=\emptyset \cup (A\cap B) =A\cap B$
$(A\cap B) \cap (\overline A \cup \overline B\cup \overline C)=(A\cap B)\cap (\overline{A\cap B}\cup \overline C)$
$=[(A\cap B) \cap \overline{A\cap B}]\cup [(A\cap B)\cup C]=\emptyset \cup [(A\cap B)\cup C]=(A\cap B) \cup C$
3) Supposons l'existence d'un élément $x$ tel que $x\in B$ et $x\notin C$
- Si $x\in A$ alors $x\in A\cap B$ et $x\notin A\cap C$ en contradiction avec $A\cap B=A\cap C$
- si $x\notin A$, Comme $x\in B$, $x\in A\cup B=A\cup C$ mais $x\notin A$ et $x\notin C$ d'où la contradiction.
On a donc démontré que si $x\in B$ alors nécessairement $x\in C$ donc $B\subset C$
On démontre de même sue $C\subset B$ donc $B=C$
Je suppose connues les propriétés de la réunion et de l'intersection (commutativité, associativité, distributivité de l'une par rapport à l'autre) ainsi que les propriétés concernant le complémentaire d'une intersection ou d'une réunion.
Exercice 1
1) $(X_1\cup X_2)\cap (X_2\cup X_3)=X_2\cup (X_1\cap X_3)$
Le premier membre est alors : $[X_2\cup (X_1\cap X_3)]\cap (X_3\cup X_1)$
$=[X_2\cap (X_3\cup X_1)]\cup [(X_1\cap X_3)\cap (X_3\cup X_1)]$
$=(X_2\cap X_3)\cup (X_1\cap X_1)\cup (X_1\cap X_3)$ (car $X_3\cap X_1\subset X_1\cup X_3)$)
2) a) $\overline A \cup (\overline{A\cap B})=\overline A \cup (\overline A \cup \overline B)=\overline A \cup \overline B$
b) $(B\cap C) \cup C = C$ car $(B\cap C) \subset C$
$C\cup (\overline B \cap \overline C)=(C\cup \overline B) \cap (C\cup \overline C)=(C\cup \overline B) \cap E =(C\cup \overline B)$
Donc l'expression est égale à $A\cup C \cup \overline B$
c) $A\cap (\overline A \cup B)=(A\cap \overline A) \cup (A\cap B)=\emptyset \cup (A\cap B) =A\cap B$
$(A\cap B) \cap (\overline A \cup \overline B\cup \overline C)=(A\cap B)\cap (\overline{A\cap B}\cup \overline C)$
$=[(A\cap B) \cap \overline{A\cap B}]\cup [(A\cap B)\cup C]=\emptyset \cup [(A\cap B)\cup C]=(A\cap B) \cup C$
3) Supposons l'existence d'un élément $x$ tel que $x\in B$ et $x\notin C$
- Si $x\in A$ alors $x\in A\cap B$ et $x\notin A\cap C$ en contradiction avec $A\cap B=A\cap C$
- si $x\notin A$, Comme $x\in B$, $x\in A\cup B=A\cup C$ mais $x\notin A$ et $x\notin C$ d'où la contradiction.
On a donc démontré que si $x\in B$ alors nécessairement $x\in C$ donc $B\subset C$
On démontre de même sue $C\subset B$ donc $B=C$
Re: relation et ensemble
Merci job j'attends avec impatience les autres exercices. MERCI
Re: relation et ensemble
Bonjour
Exercice 2
1) La réflexivité est évidente, il suffit de remplacer $z_2$ par $z_1$ et l'égalité est vérifiée.
La symétrie est également évidente puisque dans l'égalité de définition $z_1$ et $z_2$ jouent le même rôle.
Transitivité :
Hypothèses : $z_1Rz_2$ et $z_2Rz_3$ soit :
$z_1\overline{z_1}(z_2+\overline{z_2})=z_2\overline{z_2}(z_1+\overline{z_1})$ et
$z_2\overline{z_2}(z_3+\overline{z_3})=z_3\overline{z_3}(z_2+\overline{z_2})$
On multiplie membre à membre les 2 égalités :
$z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}(z_2+\overline{z_2})(z_3+\overline{z_3})=z_2\overline{z_2}z_3\overline{z_3}(z_1+\overline{z_1})(z_2+\overline{z_2})$
- Si $z_2\neq 0$ et $z_2$ non imaginaire pur, on peut simplifier l'égalité précédente par $z_2\overline{z_2}$ et par $(z_2+\overline{z_2})$. On obtient :
$z_1\overline{z_1}(z_3+\overline{z_3})=z_3\overline{z_3}(z_1+\overline{z_1})$ donc $z_1Rz_3$
- Si $z_2=0$ alors tout complexe est en relation avec $z_2$ donc on ne peut rien conclure pour $z_1$ et $z_3$
- Si $z_2$ imaginaire pur non nul alors $z_2+\overline {z_2}=0$ alors $z_1+\overline{z_1}=0$ et $z_3+\overline{z_3}=0$. On a alors l'égalité
$z_1\overline{z_1}(z_3+\overline{z_3})=z_3\overline{z_3}(z_1+\overline{z_1})$ donc $z_1Rz_3$
Pour avoir une relation d'équivalence, il faut donc se placer dans $({\mathbb C}^*)^2$
2) Soit $z=x+iy$
$aRz\Longleftrightarrow a^2(2x)=(x^2+y^2)(2a)$
$\frac{a}{2}(2x)=x^2+y^2$
$x^2+y^2-ax=0$
$(x-\frac{1}{2}a)^2-\frac{1}{4} a^2+y^2=0$
$(x-\frac{1}{2} a)^2+y^2=\frac{1}{4} a^2$
La classe de $a$ est donc le cercle de centre le point de coordonnées $(\frac{1}{2}a,0)$ et de rayon $\frac{1}{2} |a|$
Exercice 2
1) La réflexivité est évidente, il suffit de remplacer $z_2$ par $z_1$ et l'égalité est vérifiée.
La symétrie est également évidente puisque dans l'égalité de définition $z_1$ et $z_2$ jouent le même rôle.
Transitivité :
Hypothèses : $z_1Rz_2$ et $z_2Rz_3$ soit :
$z_1\overline{z_1}(z_2+\overline{z_2})=z_2\overline{z_2}(z_1+\overline{z_1})$ et
$z_2\overline{z_2}(z_3+\overline{z_3})=z_3\overline{z_3}(z_2+\overline{z_2})$
On multiplie membre à membre les 2 égalités :
$z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}(z_2+\overline{z_2})(z_3+\overline{z_3})=z_2\overline{z_2}z_3\overline{z_3}(z_1+\overline{z_1})(z_2+\overline{z_2})$
- Si $z_2\neq 0$ et $z_2$ non imaginaire pur, on peut simplifier l'égalité précédente par $z_2\overline{z_2}$ et par $(z_2+\overline{z_2})$. On obtient :
$z_1\overline{z_1}(z_3+\overline{z_3})=z_3\overline{z_3}(z_1+\overline{z_1})$ donc $z_1Rz_3$
- Si $z_2=0$ alors tout complexe est en relation avec $z_2$ donc on ne peut rien conclure pour $z_1$ et $z_3$
- Si $z_2$ imaginaire pur non nul alors $z_2+\overline {z_2}=0$ alors $z_1+\overline{z_1}=0$ et $z_3+\overline{z_3}=0$. On a alors l'égalité
$z_1\overline{z_1}(z_3+\overline{z_3})=z_3\overline{z_3}(z_1+\overline{z_1})$ donc $z_1Rz_3$
Pour avoir une relation d'équivalence, il faut donc se placer dans $({\mathbb C}^*)^2$
2) Soit $z=x+iy$
$aRz\Longleftrightarrow a^2(2x)=(x^2+y^2)(2a)$
$\frac{a}{2}(2x)=x^2+y^2$
$x^2+y^2-ax=0$
$(x-\frac{1}{2}a)^2-\frac{1}{4} a^2+y^2=0$
$(x-\frac{1}{2} a)^2+y^2=\frac{1}{4} a^2$
La classe de $a$ est donc le cercle de centre le point de coordonnées $(\frac{1}{2}a,0)$ et de rayon $\frac{1}{2} |a|$
Re: relation et ensemble
Exercice 3
1) Réflexivité et symétrie : évident
Transitivité : Soit $xRy$ et $yRz$
$x(y^2+1)=y(x^2+1)$
$y(z^2+1)=z(y^2+1)$
En multipliant membre à membre :
$xy(y^2+1)(z^2+1)=yz(x^2+1)(y^2+1)$
On peut simplifier par $y^2+1\neq 0$ : $xy(z^2+1)=yz(x^2+1)$
- Si $y\neq 0$, on obtient en simplifiant : $x(z^2+1)=z(x^2+1)$ soit $xRz$
- Si $y=0$, les 2 égalités de définition montrent que $x=z=0$ et on a encore $xRz$
2) $2(y^2+1)=y(5)$
$2y^2-5y+2=0$
La résolution de l'équation donne comme classe : $\{2, \frac{1}{2}\}$
3) $a(y^2+1)=y(a^2+1)$
$ay^2-y(a^2+1)+a=0$
- Si $a=0$ alors $y=0$ donc la classe est $\{0\}$
- Si $a\neq 0$, l'équation est du second degré.
$\Delta=(a^2+1)^2-4a^2=(a^2-1)^2$
- Si $a\notin\{-1,1\}$ 2 solutions $y_1=a\ ,\ y_2=\frac{1}{a}$
Classe d'équivalence : $\{a,\frac{1}{a}\}$
- Si $a=1$ classe d'équivalence : $\{1\}$
- Si $a=-1$ classe d'équivalence : $\{-1\}$.
1) Réflexivité et symétrie : évident
Transitivité : Soit $xRy$ et $yRz$
$x(y^2+1)=y(x^2+1)$
$y(z^2+1)=z(y^2+1)$
En multipliant membre à membre :
$xy(y^2+1)(z^2+1)=yz(x^2+1)(y^2+1)$
On peut simplifier par $y^2+1\neq 0$ : $xy(z^2+1)=yz(x^2+1)$
- Si $y\neq 0$, on obtient en simplifiant : $x(z^2+1)=z(x^2+1)$ soit $xRz$
- Si $y=0$, les 2 égalités de définition montrent que $x=z=0$ et on a encore $xRz$
2) $2(y^2+1)=y(5)$
$2y^2-5y+2=0$
La résolution de l'équation donne comme classe : $\{2, \frac{1}{2}\}$
3) $a(y^2+1)=y(a^2+1)$
$ay^2-y(a^2+1)+a=0$
- Si $a=0$ alors $y=0$ donc la classe est $\{0\}$
- Si $a\neq 0$, l'équation est du second degré.
$\Delta=(a^2+1)^2-4a^2=(a^2-1)^2$
- Si $a\notin\{-1,1\}$ 2 solutions $y_1=a\ ,\ y_2=\frac{1}{a}$
Classe d'équivalence : $\{a,\frac{1}{a}\}$
- Si $a=1$ classe d'équivalence : $\{1\}$
- Si $a=-1$ classe d'équivalence : $\{-1\}$.