Bonjour
Soit $G$ ensemble des entiers naturels strictement positifs de la forme $ma+nb$ avec $m$ et $n$ entiers relatifs.
G est non vide car $|a|\in G$ avec $m=\pm 1$ et $n=0$. Donc $G$ admet un plus petit élément $d$ et il existe 2 entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $d=au+bv$
Soit $D=pgcd(a,b)$.
Puisque $D$ divise $a$ et $b$ , $D$ divise $d$
On considère la division euclidienne de $a$ par $d$ : $a=dq+r$ avec $0\leq r<d$
$r=a-dq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(-vq)$
Si $r\neq 0$ alors $r\in G$ or $r<d$ en contradiction avec la définition de $d$ donc $r=0$ donc $d$ divise $a$.
On démontre de même que $d$ divise $b$.
$d$ divise $a$ et $b$ donc il divise leur pgcd. soit $d$ divise $D$
$d$ divise $D$ et $D$ divise $d$ donc $d=D$. On a donc $d=au+bv=pgcd(a,b)$
Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $d=1$