Vérification de réponses 3

[Job]

Re bonjour

Exercice 1 :

1. Cela revient à résoudre : $2r^{2} + 2r - 3 = 0$ (comment appelle-t-on ce passage ? L'équation caractéristique ?)

Effectivement c'est l'équation caractéristique.

3. On se retrouve à calculer :

$2r^{2} + 9 = 0$
Donc 2 solutions $r_{1}$ et $r_{2}$ dans $\mathbb{C}$ :
$r_{1} = -\overline{r_{2}} = i \frac{3}{\sqrt{2}}$

Donc :
$y(x) = C_{1}cos(\frac{3}{\sqrt{2}}) + C_{2}sin(\frac{3}{\sqrt{2}})$ avec $(C_{1}, C_{2})\in \mathbb{R^{2}}$

Il manque la variable $x$ sans le cosinus et le sinus.

B. $ \int \ln(x+1) dx = x\ln(x+1) - x + \ln( |x+1|) + K$ avec $K\in \mathbb{R}$

(la valeur absolue ici, est-elle indispensable dans le deuxième ln ? Ne suis-je pas automatiquement limité par les valeurs de x du premier ln ? Je peux quand même factoriser par ce terme ?)

La question n'a de sens que si $1+x>0$ si non l'intégrale n'est pas définie.

C. Je pose : $u = 2.e^{2x} + 2$ on a : $du = 4e^{2x} dx$

$\int_{0}^{2} \frac{e^{2x}}{2.e^{2x} + 2} dx = \frac{1}{4}\ln (\frac{e^4 + 1}{2})$

(peut-on obtenir des résultats légèrement différents si on effectue un autre (d'autres ?) changement de variable ?)

Puisqu'il y a des bornes, l'intégrale est un nombre donc il n'y a qu'un seul résultat possible.

Par contre de manière générale, dans un calcul de primitive, on peut obtenir des résultats différents du fait de la constante.

Je n'ai pas d'autres remarques, tout est exact.