Bonjour, j'ai un problème avec une question dans un exercice de maths.
En effet on a la fonction $f(x)= e^{ \frac{x}{3} }$ sur R, $ U_{n+1}=f(U_{n})$
et $ g(x)= \frac{2-x} {2+x}$*e^x définie sur ]-2;+∞[
J'ai montré que e<3, que f(x)=x admettait 2 solutions a et b et que a<3<b.
Mais je n'arrive pas à monter que Un est monotone et son sens de monotomie par rapport à la positionde Uo par rapport à a et b.
Sachant que j'ai trouvé que (f(x)-x) est décroissante sur -∞;3ln(3) et croissante sur 3-ln(3);+∞ donc (f(x)-x) est positive sur -∞;a et b;+∞
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance
Monotomie d'une suite.
Re: Monotomie d'une suite.
Bonsoir
$f$ est une fonction croissante donc elle conserve l'ordre et par conséquent la suite est monotone. Il suffit donc alors d'ordonner les 2 premiers termes.
D'après ce que vous avez trouvé :
* Si $u_0=a$ ou $u_0=b$, la suite est constante.
* Si $u_0\in ]-\infty , a[$ , $u_0<a\Longrightarrow u_1=f(u_0)<f(a)=a$ donc $u_1\in ]-\infty , a[$ et étant donné que sur cet intervalle $f(x)-x>0$, $u_1=f(u_0)>u_0$. La suite est donc croissante.
* Si $u_0\in ]a , b[$ , $a<u_0<b \Longrightarrow f(a)<f(u_0)<f(b)$ soit $a<u_1<b$. Sur cet intervalle $f(x)-x<0$ donc $u_1=f(u_0)<u_0$ . la suite est donc décroissante.
* Si $u_0\in ]b , +\infty[$ , $u_0>b\Longrightarrow u_1=f(u_0)>f(b)=b$. Sur cet intervalle $f(x)-x>0$ donc $u_1=f(u_0)>u_0$. La suite est donc croissante.
$f$ est une fonction croissante donc elle conserve l'ordre et par conséquent la suite est monotone. Il suffit donc alors d'ordonner les 2 premiers termes.
D'après ce que vous avez trouvé :
* Si $u_0=a$ ou $u_0=b$, la suite est constante.
* Si $u_0\in ]-\infty , a[$ , $u_0<a\Longrightarrow u_1=f(u_0)<f(a)=a$ donc $u_1\in ]-\infty , a[$ et étant donné que sur cet intervalle $f(x)-x>0$, $u_1=f(u_0)>u_0$. La suite est donc croissante.
* Si $u_0\in ]a , b[$ , $a<u_0<b \Longrightarrow f(a)<f(u_0)<f(b)$ soit $a<u_1<b$. Sur cet intervalle $f(x)-x<0$ donc $u_1=f(u_0)<u_0$ . la suite est donc décroissante.
* Si $u_0\in ]b , +\infty[$ , $u_0>b\Longrightarrow u_1=f(u_0)>f(b)=b$. Sur cet intervalle $f(x)-x>0$ donc $u_1=f(u_0)>u_0$. La suite est donc croissante.
Re: Monotomie d'une suite.
Merci beaucoup 