Intégrale

[lesolitaire]

Bonjour;
je n'arrive pas à trouver le même résultat,


on a

$\begin{array}{l}
\int {\frac{{dx}}{{(9 + 25x^2 )\sqrt {1 + x^2 } }} = \frac{1}{{12}}} \arctan (\frac{{4x}}{{3\sqrt {1 + x^2 } }}){\rm{ }} \\
{\rm{avec wolfram}} \\
\\
{\rm{ }} \\
x^{ - 1} = \sqrt {t^2 - 1} \\
\frac{1}{x} = \sqrt {t^2 - 1} \quad - \frac{{dx}}{{x^2 }} = \frac{t}{{\sqrt {t^2 - 1} }}dt \\
dx = - \frac{{x^2 t}}{{\sqrt {t^2 - 1} }}dt = - \frac{1}{{t^2 - 1}}\frac{t}{{\sqrt {t^2 - 1} }}dt \\
\int {\frac{1}{{(\frac{{9t^2 - 9 + 25}}{{t^2 - 1}})}}} \frac{1}{{\frac{{\sqrt {t^2 - 1 + 1} }}{{\sqrt {t^2 - 1} }}}}\left( { - \frac{1}{{t^2 - 1}}\frac{t}{{\sqrt {t^2 - 1} }}} \right)dt \\
{\rm{ = - }}\int {\frac{1}{{9t^2 + 16}}} dt \\
{\rm{en revenant \`a x}} \\
- \frac{1}{{12}}\arctan \left( {\frac{{3\sqrt {1 + x^2 } }}{{4x}}} \right)? \\
\end{array}$
Désolé pour la mise en forme

[Job]

Bonjour

Le calcul est exact mais on a la relation :
si $x>0, \arctan x + \arctan (\frac{1}{x}) =\frac{\pi}{2}$
donc les 2 primitives obtenues différent à une constante près.

[lesolitaire]

Merci, je connais cette relation mais je n'arrive pas à mes fins

voici ce que j'ai fait:
\[
\begin{array}{l}
= - \frac{1}{{12}}\arctan \left( {\frac{{3\sqrt {1 + x^2 } }}{{4x}}} \right) \\
\frac{1}{{12}}\arctan (\frac{{4x}}{{3\sqrt {1 + x^2 } }}){\rm{ = }}\beta \\
\alpha + \beta = \frac{\pi }{2} \\
\int {\frac{{dx}}{{(9 + 25x^2 )\sqrt {1 + x^2 } }} = \frac{1}{{12}}\left[ {\arctan (\frac{{4x}}{{3\sqrt {1 + x^2 } }})} \right]} _{\rm{0}}^\infty {\rm{ }} \\
\int {\frac{{dx}}{{(9 + 25x^2 )\sqrt {1 + x^2 } }} = } - \frac{1}{{12}}\left[ {\arctan \left( {\frac{{3\sqrt {1 + x^2 } }}{{4x}}} \right)} \right]_0^\infty \\
{\rm{2I = }}\frac{1}{{12}}\left[ {\arctan (\frac{{4x}}{{3\sqrt {1 + x^2 } }}) - \arctan \left( {\frac{{3\sqrt {1 + x^2 } }}{{4x}}} \right)} \right]_0^\infty \\
24I = \left[ {\arctan (\frac{{4x}}{{3\sqrt {1 + x^2 } }}) - \arctan \left( {\frac{{3\sqrt {1 + x^2 } }}{{4x}}} \right)} \right]_0^\infty \\
x \to 0 \to \arctan 0 - \arctan \frac{3}{4} \\
x \to + \infty \to \arctan \frac{4}{3} - \arctan 0 \\
24I = \arctan \frac{4}{3} - \arctan 0 \\
\end{array}
\]
je ne vois pas comment arriver au résultat sans passer par 2 primitives.

[Job]

Bonjour

Le problème vient d'erreurs dans le calcul des limites et il est inutile d'utiliser 2 primitives.

Si on prend la primitive que vus aviez obtenue, on a à calculer $\left[-\frac{1}{12}\arctan\left(\frac{3\sqrt{1+x^2}}{4x}\right)\right]_0^{\infty}$
$\lim_{x\to +\infty}\frac{3\sqrt{1+x^2}}{4x}=\frac{3}{4}$ et $\lim_{x\to 0^+}\frac{3\sqrt{1+x^2}}{4x}=+\infty$

Donc $I=-\frac{1}{12}\left(\arctan (\frac{3}{4})-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{12}\left(\frac{\pi}{2} -\arctan(\frac{4}{3})-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{12}\arctan (\frac{4}{3})$

Avec l'autre primitive c'est même encore plus rapide.

[lesolitaire]

Merci, ce qui m'a induit en erreur c'est la somme arctan, et la constante sur les primitives, "une façon d'aller chercher midi à 14 heures"