Bornes après changement de variable

[lesolitaire]

Bonjour
Mon pb ce sont les bornes après le changement de variables $I=0$ ce qui est faux si l'on visualise la courbe.Pour le tracé : Wolfram \begin{align*}
I= \int_0^{2\pi } {\frac{1}{{\sin ^4 x + \cos ^4 x}}} dx &=
(\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2\sin ^2 x\cos ^2 x \\
1 &= \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2\sin ^2 x\cos ^2 x \\
\sin ^4 x + \cos ^4 x &= 1 - 2\sin ^2 x\cos ^2 x = 1 - \frac{{\sin ^2 2x}}{2} \\
\tan 2x &= \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = t\quad 2(1 + \tan ^2 2x)dx = dt\quad dx = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{{1 + t^2 }}
\end{align*}
$ x = 0 \to t = 0 $
$x = 2\pi \to = 0 $
\begin{align*}
\tan ^2 2x &= \frac{{\sin ^2 2x}}{{\cos ^2 2x}} = t^2, \quad \sin ^2 2x = t^2,\quad \cos ^2 2x = \frac{1}{2}\frac{{t^2 }}{{1 + t^2 }}dt \\
\int \frac{1}{\sin ^4 x + \cos ^4 x}dx &= \int \frac{1}{1 - \frac{1}{2}\frac{t^2 }{1 + t^2 }} \frac{1}{2}\frac{dt}{1 + t^2 } = \int \frac{dt}{2 + t^2 }
\end{align*}

Bien sur il y a d'autres façon pour la calculer , mais je tiens à celle-ci


là où j’ai trouvé l’intégrale il est écrit, recopie texto:
les nouvelles limites sont toutes les deux égales à zéro. Mais on remarque que $\sin ^4 x + \cos ^4 x$ ne changent pas quand on change $x$ soit en $2\pi - x$, soit en $\pi - x$, soit en $\frac{\pi }{2} - x$.
L’intégrale donnée est donc égale à huit fois celle prise entre zéro et $\frac{\pi }{4}$. Les nouvelles limites sont zéro et $ + \infty $
On a $\displaystyle I=\frac{8}{{\sqrt 2 }}\frac{\pi }{2} = 2\pi \sqrt 2 $

C'est ce huit fois que ne n'arrive pas à comprendre.

[Job]

Bonjour

La fonction à intégrer est périodique de période $2\pi$ don on peut remplacer les bornes 0 et $2\pi$ par les bornes $-\pi$ et $+\pi$
La fonction est paire donc l'intégrale $I$ est le double de l'intégrale entre 0 et $\pi$ (propriété commune à toutes les fonctions paires)

Je détaille la suite. Je pose $g(x)=1-\frac{1}{2}\sin^2(2x)$

$g(\frac{\pi}{2}-x)=1-\frac{1}{2}\sin^2 (\pi-2x)=1-\frac{1}{2}\sin^2(2x)$
$g(\frac{\pi}{2}+x)=1-\frac{1}{2}\sin^2 (\pi+2x)=1-\frac{1}{2}(-\sin(2x))^2=1-\frac{1}{2}\sin^2 (2x)$
On en déduit que la droite d'équation $x=\frac{\pi}{2}$ est axe de symétrie de la courbe donc l'intégrale entre 0 et $\pi$ est le double de l'intégrale entre 0 et $\frac{\pi}{2}$

$g(\frac{\pi}{4}-x)=1-\frac{1}{2} \sin^2 (\frac{\pi}{2} -2x)=1-\frac{1}{2}\cos^2 (2x)$
$g(\frac{\pi}{4}+x)=1-\frac{1}{2} \sin^2 (\frac{\pi}{2} +2x)=1-\frac{1}{2}\cos^2 (2x)$
La droite d'équation $x=\frac{\pi}{4}$ est axe de symétrie de la courbe donc l'intégrale entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ est le double de l'intégrale entre 0 et $\frac{\pi}{4}$

Donc $I$ est égale à 8 fois l'intégrale entre 0 et $\frac{\pi}{4}$

[lesolitaire]

Merci pour le développement ; je vais regarder avec beaucoup d'attention. Peut-on dire que c'est bornes étaient évidentes.

[Job]

Je n'aurais peut-être pas pensé à la symétrie par rapport à $\frac{\pi}{4}$

Par contre, je pense que la période $\frac{\pi}{2}$ était assez visible ainsi que la parité. Donc en utilisant d'abord la périodicité, on se ramenait à 4 fois l'intégrale entre $-\frac{\pi}{4}$ et $+\frac{\pi}{4}$ puis ensuite avec la parité on arrivait avec 8 fois l'intégrale entre 0 et $\frac{\pi}{4}$

[lesolitaire]

Merci;la périodicité et la parité je les avais vus mais, je n'aurais pas pensé, à un tel cheminement.