Bonjour,
Un petit problème axé sur la recherche de relations en trigonométrie.
Au départ, il faut soigneusement choisir les identités pour optimiser les calculs et la rédaction...
Je crois quelles sont utiles pour résoudre des équations et trouver certaines primitives ?
1.) Vérifier les deux égalités suivantes :
1.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right);$
1.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
2.a) En déduire l'expression de : $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=t$;
2.b) De même, exprimer $\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u.$
____________________________________________________________
Rappel utile : la propriété des rapports égaux (produit en croix) : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$
1.a) $\sin^2x+cos^2x=1\iff\sin x\times\sin x=(1-\cos x)(1+\cos x)\iff\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x};$
A partir de : $\sin 2x=2\sin x\cos x\quad$ et $\quad 1+\cos 2x=2\cos^2x$,
$\quad\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right).$
1.b) $\sin^2x+cos^2x=1\iff(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos x\times\cos x\iff\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}.$
Partant de : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\,$ et $\,\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\,$ si on pose : $X=\dfrac{\pi}{2}-x,$
suivant le résultat précédent :
$\quad\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1-\cos X}{\sin X}=\tan\left(\dfrac{X}{2}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
Pouvez-t-on démontrer différemment cette relation ?
2.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=t^2.$
2.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\times\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u^2.$
C'est fini, mais à la rédaction j'ai pu commettre des abus d'écritures ou des omissions ?
Merci pour vos commentaires
[Trigonométrie] Recherche de relations
Re: [Trigonométrie] Recherche de relations
Bonjour
Je n'ai rien à corriger ni à ajouter à la démonstration.
J'ajoute une petite question : Écrire $\sin x +\cos x$ en utilisant une seule ligne trigonométrique.
Je n'ai rien à corriger ni à ajouter à la démonstration.
J'ajoute une petite question : Écrire $\sin x +\cos x$ en utilisant une seule ligne trigonométrique.
Re: [Trigonométrie] Recherche de relations
Merci pour la réponse.
$\quad\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, en prenant : $a=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\Longrightarrow\sin a=\cos a=\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
Après simplification on en déduit : $\,\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right).$
C'est à cette approche que tu pensais ?
Le seul moyen que je connaisse avec :Job a écrit :J'ajoute une petite question : Écrire $\sin x +\cos x$ en utilisant une seule ligne trigonométrique.
$\quad\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, en prenant : $a=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\Longrightarrow\sin a=\cos a=\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
Après simplification on en déduit : $\,\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right).$
C'est à cette approche que tu pensais ?
Re: [Trigonométrie] Recherche de relations
C'est bien cela.
On peut faire le même type de transformation avec l'expression : $a\ cos x +b\sin x$
Cela peut être utile pour résoudre des équations.
On peut faire le même type de transformation avec l'expression : $a\ cos x +b\sin x$
Cela peut être utile pour résoudre des équations.