Bonjour, je voudrais de l'aide s'il vous plaît
Voilà l'exercice me demande de trouver de 2 manières le module et l'argument du nombre complexe (√3 - i) (-1-i)
la première méthode j'ai utilisé arg ((√3 - i) (-1-i)) = arg (√3 - i) + arg(-1-i) = 13pi/12
la deuxième j'ai essayé de développer mais je ne trouve pas le même résultat ce qui donne que (√3 - i) (-1-i) = -√3 -1 + i(-√3 +1)
mais pour la suite je n'ai trouvé le même résultat.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Nombre complexe
Re: Nombre complexe
Bonjour
1) $|\sqrt 3-i|=2$ ; $\cos \theta_1=\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\sin \theta_1=-\frac{1}{2}$ donc $arg (z_1)= -\frac{\pi}{6}$
$|-1-i|=\sqrt 2$ ; $\cos \theta_2=\sin \theta_2=-\frac{\sqrt 2}{2}$ donc $\arg (z_2)=-\frac{3\pi}{4}$
Donc $|z|=2\sqrt 2$ et $arg (z)=-\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}=-\frac{11\pi}{12} \equiv \frac{13\pi}{12}\ [2\pi]$
2) $(\sqrt 3-i)(-1-i)=(-\sqrt 3 -1) +i(-\sqrt 3 +1)$
$|z|^2=(-\sqrt 3-1)^2 +(-\sqrt 3 +1)^2=4+2\sqrt 3 +4-2\sqrt 3 =8$ donc $|z|=2\sqrt 2$
$\cos \theta =\frac{-\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3 }{2\sqrt 2}-\frac{1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2} -\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}$
$\sin \theta =\frac{-\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3 }{2\sqrt 2}+\frac{1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2} +\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}$
Avec la décomposition précédente et les formules d'addition on peut écrire :
$\cos \theta =\cos (\frac{5\pi}{6}) \times \cos \frac{\pi}{4} - \sin (\frac{5\pi}{6}) \sin \frac{\pi}{4} =\cos (\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{4})$
$\sin \theta =\cos (\frac{5\pi}{6}) \times \sin \frac{\pi}{4} + \sin (\frac{5\pi}{6}) \cos \frac{\pi}{4} =\sin (\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{4})$
Donc $arg (z)=\frac{5\pi}{6} +\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{12}$
La première méthode est beaucoup plus naturelle.
1) $|\sqrt 3-i|=2$ ; $\cos \theta_1=\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\sin \theta_1=-\frac{1}{2}$ donc $arg (z_1)= -\frac{\pi}{6}$
$|-1-i|=\sqrt 2$ ; $\cos \theta_2=\sin \theta_2=-\frac{\sqrt 2}{2}$ donc $\arg (z_2)=-\frac{3\pi}{4}$
Donc $|z|=2\sqrt 2$ et $arg (z)=-\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}=-\frac{11\pi}{12} \equiv \frac{13\pi}{12}\ [2\pi]$
2) $(\sqrt 3-i)(-1-i)=(-\sqrt 3 -1) +i(-\sqrt 3 +1)$
$|z|^2=(-\sqrt 3-1)^2 +(-\sqrt 3 +1)^2=4+2\sqrt 3 +4-2\sqrt 3 =8$ donc $|z|=2\sqrt 2$
$\cos \theta =\frac{-\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3 }{2\sqrt 2}-\frac{1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2} -\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}$
$\sin \theta =\frac{-\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3 }{2\sqrt 2}+\frac{1}{2\sqrt 2}=-\frac{\sqrt 3}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2} +\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}$
Avec la décomposition précédente et les formules d'addition on peut écrire :
$\cos \theta =\cos (\frac{5\pi}{6}) \times \cos \frac{\pi}{4} - \sin (\frac{5\pi}{6}) \sin \frac{\pi}{4} =\cos (\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{4})$
$\sin \theta =\cos (\frac{5\pi}{6}) \times \sin \frac{\pi}{4} + \sin (\frac{5\pi}{6}) \cos \frac{\pi}{4} =\sin (\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{4})$
Donc $arg (z)=\frac{5\pi}{6} +\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{12}$
La première méthode est beaucoup plus naturelle.
Re: Nombre complexe
Merci beaucoup