Bonjour, voilà j'ai un exercice mais je ne comprends pas comment faire car il y a pas de fonction. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :
Soit u une fonction dérivable sur l'intervalle [-1 ; 3] dont la représentation graphique Cu est donnée ci-dessous. On note f la fonction ln(u).
1) Justifier que f est définie sur ]-1 ; 2 [.
2) Étudier le sens de variations de la fonction f.
3) Étudier les limites de f en -1 et en 2.
4) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
5) Discuter selon les valeurs du réel k, le nombre de solutions l'équation f(x) = k.
Merci de bien vouloir m'aider.
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Logarithme népérien
Logarithme népérien
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Dernière modification par Éloïse le 01 novembre 2017, 15:06, modifié 1 fois.
Re: Logarithme népérien
Bonjour
1) La fonction $f$ est définie lorsque $u(x)>0$. Sur l'intervalle ]-1 ,2[, $u(x)>0$ donc $f$ est bien définie sur l'intervalle ]-1 ,2[.
2) La fonction $ln$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
La fonction $u$ est croissante sur l'intervalle ]-1, 0], la composée de 2 fonctions croissantes est une fonction croissante donc $f$ est croissante sur l'intervalle ]-1 , 0].
La fonction $u$ est décroissante sur l'intervalle [0 , 2[, la composée d'une fonction décroissante par une fonction croissante est décroissante donc $f$ est décroissante sur l'intervalle [0 , 2[.
3) Quand $x$ tend vers -1 ou 2, $u(x)$ tend vers 0 et la limite de la fonction $ln$ en 0 est égale à - l'infini donc $\lim_{x\to -1}f(x)=\lim_{x\to 2} f(x) =-\infty$.
4) Le tableau de variation résume les questions 2 et 3. La fonction $f$ admet un maximum en 0 égal à $\ln (u(0))=\ln 4$
5) En utilisant le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires :
- la fonction $f$ est continue strictement croissante sur l'intervalle ]-1 ,0[ donc pour tout réel $k$ de l'intervalle $]-\infty , \ln 4[$ l'équation $f(x)=k$ admet une solution dans l'intervalle ]-1 ,0[
- la fonction $f$ est continue strictement décroissante sur l'intervalle ]0, 2[ donc pour tout réel $k$ de l'intervalle $]-\infty , \ln 4[$ l'équation $f(x)=k$ admet une solution dans l'intervalle ]0 , 2[.
En résumé :
- si $k\in ]-\infty, \ln 4[$, l'équation $f(x)=k$ admet 2 solutions, l'une dans l'intervalle ]-1 ,0[ et l'autre dans l'intervalle ]0 , 2[.
- si $k=\ln 4$, l'équation $f(x)=\ln 4$ admet une solution : 0
- si $k\in ]\ln 4 , +\infty[$, l'équation $f(x)=k$ n'admet pas de solution.
1) La fonction $f$ est définie lorsque $u(x)>0$. Sur l'intervalle ]-1 ,2[, $u(x)>0$ donc $f$ est bien définie sur l'intervalle ]-1 ,2[.
2) La fonction $ln$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
La fonction $u$ est croissante sur l'intervalle ]-1, 0], la composée de 2 fonctions croissantes est une fonction croissante donc $f$ est croissante sur l'intervalle ]-1 , 0].
La fonction $u$ est décroissante sur l'intervalle [0 , 2[, la composée d'une fonction décroissante par une fonction croissante est décroissante donc $f$ est décroissante sur l'intervalle [0 , 2[.
3) Quand $x$ tend vers -1 ou 2, $u(x)$ tend vers 0 et la limite de la fonction $ln$ en 0 est égale à - l'infini donc $\lim_{x\to -1}f(x)=\lim_{x\to 2} f(x) =-\infty$.
4) Le tableau de variation résume les questions 2 et 3. La fonction $f$ admet un maximum en 0 égal à $\ln (u(0))=\ln 4$
5) En utilisant le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires :
- la fonction $f$ est continue strictement croissante sur l'intervalle ]-1 ,0[ donc pour tout réel $k$ de l'intervalle $]-\infty , \ln 4[$ l'équation $f(x)=k$ admet une solution dans l'intervalle ]-1 ,0[
- la fonction $f$ est continue strictement décroissante sur l'intervalle ]0, 2[ donc pour tout réel $k$ de l'intervalle $]-\infty , \ln 4[$ l'équation $f(x)=k$ admet une solution dans l'intervalle ]0 , 2[.
En résumé :
- si $k\in ]-\infty, \ln 4[$, l'équation $f(x)=k$ admet 2 solutions, l'une dans l'intervalle ]-1 ,0[ et l'autre dans l'intervalle ]0 , 2[.
- si $k=\ln 4$, l'équation $f(x)=\ln 4$ admet une solution : 0
- si $k\in ]\ln 4 , +\infty[$, l'équation $f(x)=k$ n'admet pas de solution.
Re: Logarithme népérien
Merci pour votre réponse mais sur [2 ; 3] u(x) > 0 aussi non ?
Re: Logarithme népérien
Effectivement, la fonction $u$ est strictement positive sur l'intervalle ]2 ,3] donc $f$ serait aussi définie sur cet intervalle mais j'ai respecté strictement le texte.
Re: Logarithme népérien
Mais pourquoi alors la consigne dit que c'est juste sur ]-1 ; 2[ ?
Re: Logarithme népérien
Étant donné que $u(2)=0$, la fonction $f$ n'est pas définie pour $x=2$ donc on pourrait considérer, comme ensemble de définition : $]-1 , 2[ \cup ]2, 3]$.
Je pense que le texte a voulu éviter une petite difficulté supplémentaire mais on peut reprendre le problème en prenant ce nouvel ensemble de définition.
Je pense que le texte a voulu éviter une petite difficulté supplémentaire mais on peut reprendre le problème en prenant ce nouvel ensemble de définition.
Re: Logarithme népérien
D'accord je viens de comprendre car le domine de définition de ln(x) est ]0 ; +infini[.