Bonsoir job;
Pourriez vous m'aider à résoudre ce problème facultatif que le prof nous a donné mais j'aimerais bien le comprendre et le faire ...
En vous remerciant par avance
Calculer les racines complexes z1 et éZ de l'équation : z^2 - (1/5) z + (1/10) = 0
z1 désignant la racine de partie imaginaire positive
soit téta le nombre réel de l'intervalle O, pi/2 tel que tan jeta = 3
Montrer que z1 et z2 sont égaux respectivement à (cos téta + i sin téta) / ((10 cos téta) et (cos téta - i sin téta) / (10 cos téta)
On pose vn = z1^n + z2^n
Montrer que vn est un nombre réel que l'on calculera en fonction de n et téta
Montrer que 10 cos téta = rac 10 . Majorer valeur absolue de (vn) puis en déduire que (vn) est convergente et déterminer sa limite
trigo
Re: trigo
Bonjour nico
1) $\displaystyle \Delta = -\frac{9}{25}=(\frac{3}{5} i)^2$
$\displaystyle z_1=\frac{1+3i}{10} \ ;\ z_2=\frac{1-3i}{10}$
2) $\displaystyle \frac{\cos \theta +i\sin \theta}{10\cos \theta}=\frac{1}{10} +\frac{i}{10}\tan \theta =\frac{1}{10} +\frac{3i}{10} =z_1$
Même calcul pour le second.
3) $z_1$ et $z_2$ sont conjugués donc il en est de même de $z_1^n$ et $z_2^n$
La somme de 2 nombres conjugués est un réel. et $v_n=2 Re (z_1^n)$
$\displaystyle z_1=\frac{e^{i\theta}}{10\cos \theta}$
$\displaystyle z_1^n = \frac{e^{in\theta}}{10^n\cos^n\theta}$
Donc $\displaystyle v_n=\frac{2\cos (n\theta)}{10^n \cos^n \theta}$
4) $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta =10$ donc $\displaystyle cos^2\theta =\frac{1}{10}$
$\displaystyle \theta \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ donc $\cos \theta >0$
$\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
On a alors $\displaystyle v_n=\frac{2 \cos (n\theta)}{(\sqrt {10})^n}$
$\displaystyle Abs \cos (n\theta) \leq 1$ donc $\displaystyle Abs (v_n)\leq \frac{2}{(\sqrt{10})^n}$
$\displaystyle \lim \frac{2}{(\sqrt{10}^n}=0$ donc la valeur absolue de $v_n$ converge vers 0.
1) $\displaystyle \Delta = -\frac{9}{25}=(\frac{3}{5} i)^2$
$\displaystyle z_1=\frac{1+3i}{10} \ ;\ z_2=\frac{1-3i}{10}$
2) $\displaystyle \frac{\cos \theta +i\sin \theta}{10\cos \theta}=\frac{1}{10} +\frac{i}{10}\tan \theta =\frac{1}{10} +\frac{3i}{10} =z_1$
Même calcul pour le second.
3) $z_1$ et $z_2$ sont conjugués donc il en est de même de $z_1^n$ et $z_2^n$
La somme de 2 nombres conjugués est un réel. et $v_n=2 Re (z_1^n)$
$\displaystyle z_1=\frac{e^{i\theta}}{10\cos \theta}$
$\displaystyle z_1^n = \frac{e^{in\theta}}{10^n\cos^n\theta}$
Donc $\displaystyle v_n=\frac{2\cos (n\theta)}{10^n \cos^n \theta}$
4) $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta =10$ donc $\displaystyle cos^2\theta =\frac{1}{10}$
$\displaystyle \theta \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ donc $\cos \theta >0$
$\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
On a alors $\displaystyle v_n=\frac{2 \cos (n\theta)}{(\sqrt {10})^n}$
$\displaystyle Abs \cos (n\theta) \leq 1$ donc $\displaystyle Abs (v_n)\leq \frac{2}{(\sqrt{10})^n}$
$\displaystyle \lim \frac{2}{(\sqrt{10}^n}=0$ donc la valeur absolue de $v_n$ converge vers 0.