exercice complexes

[anissa13]

Bonsoir,
j'ai un exercice du dm que où je n'arrive pas pourriez vous m'aider s'il vous plait. merci

exercice

DM1.jpg (198.72 Kio) Consulté 8362 fois

[Job]

Bonsoir

Comment les points $A_n$ sont-ils définis ?

[anissa13]

Bonjour , je vous envoie les données en images.

[Job]

$a=\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ donc $z_n=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}$ et $z_n$ a pour argument $\frac{\pi}{4}$

a) $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}})=(\overrightarrow{OA_n} , \overrightarrow u)+(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})=-(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_n}) +(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})\ [2\pi]$

$(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_n})=\arg{z_n}=n\frac{\pi}{4}$ et $(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}})=\arg{z_{n+1}}=(n+1)\frac{\pi}{4}$ donc $(\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_{n+1}})=-n\frac{\pi}{4} +(n+1)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$

b) J'ai du mal à lire la question : s'agit-il bien de $(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_nA_{n+1}})$
La question c) dépend de la question b)

d) $\overrightarrow{OA_0}=\overrightarrow u$ donc $(\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OA_n})=\arg(z_n)=n\frac{\pi}{4}$
Les points $O,A_0,A_n$ sont alignés si et seulement si, cet argument est un multiple de $\pi$ donc si et seulement si $n$ est multiple de 4.

[Job]

b) J'ai vérifié pour voir si, avec ce que je crois avoir lu, on obtient bien le résultat demandé et ça marche

$(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow u)+(\overrightarrow u,\overrightarrow{A_{n+1}A_n})\ [2\pi]$
Dans un angle orienté, quand on permute l'ordre de vecteurs on obtient l'angle opposé et quand on remplace un des vecteurs par son opposé cela revient à ajouter ou retrancher $\pi$ modulo $2\pi$ donc $ (\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow u)=-[(\overrightarrow u , \overrightarrow{OA_{n+1}}-\pi] =-\arg(z_{n+1}+\pi =-(n+1)\frac{\pi}{4} +\pi\ [2\pi]$
$(\overrightarrow u,\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=\arg(z_n-z_{n+1})$
$z_n-z_{n+1}=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}-(\frac{\sqrt 2}{2})^{n+1}e^{i(n+1)\frac{\pi}{4}}=(\frac{\sqrt 2}{2})^n e^{in\frac{\pi}{4}}(1-\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}})$
$1-\frac{\sqrt 2}{2} e^{i\frac{\pi}{4}}=1-a=\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i =\frac{\sqrt 2}{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}$
L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments modulo $2\pi$ donc $\arg(z_n-z_{n+1}=n\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4}=(n-1)\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
On a alors : $(\overrightarrow{A_{n+1}O},\overrightarrow{A_{n+1}A_n})=-(n+1)\frac{\pi}{4} +\pi +(n-1)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$

c) D'une manière générale, quand on a le point $A_n$, pour obtenir le point suivant $A_{n+1}$, on commence en utilisant la question a) , par construire la demi-droite $[Oz)$ d'origine O, faisant avec $[OA_n)$ un angle de $\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$ sur laquelle va se trouver $OA_{n+1}$.
De la question b) on déduit que les droites $(OA_{n+1})$ et $(A_{n+1}A_n)$ sont perpendiculaires donc le point $A_{n+1}$ est le projeté orthogonal de $A_n$ sur la demi-droite $[Oz)$

[anissa13]

Bonsoir,
merci beaucoup de votre aide j'ai enfin compris, mais j'aimerai savoir est-ce que mais réponde au question précedente sont correcte,s'il vous plait.
2)a) rn=AkAk+1
b)r0=z1-z0=1/2+1/2i-1=-1/2+1/2i
c)Zn+1-Zn=a^n+1-a^n
=a(a^n-a^n-1)=a( Zn-Zn-1)

d)rn=|Zn+1-Zn|=|a(Zn-Zn-1|=|a|x|Zn-Zn1|
rn=|a|x|Zn-Zn-1|
rn=|1/2 +1/2i|x|Zn-Zn-1|
rn=racine2/2 x rn-1
3) rn est une suite géometrique de raison |a|=V2/2
et de premier terme r0=V2/2^n+1
Ln= r0*V2/2^n+1-1/V2/2-1
limite n tend vers +infini=0

[Job]

a) $r_n=A_nA_{n+1}$

b) Ce sont des modules qu'il faut calculer.
$r_0=|z_1-z_0| =|-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i|=\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt 2}{2}$
De même $r_2$ et $r_3$ sont des modules.

c) et d) : d'accord.
Le premier terme de la suite est $r_0=\frac{\sqrt 2}{2}$

Je ne sais pas ce qu'est $L_n$

[anissa13]

Bonsoir, en effet mais je n'arriver pas a ecrire les barres pour dire que c'est le module,
donc pour r2=|z2-z1|=|1/2-1/2+1/2|=V(1/2)=V1/4
r3=|z3-z1|=|-1/4+1/4-V2/2|=V(V2/2)²=2/4=1/2
Ln c'est pour la limite à la question 3 si je me suis pas tromper?

[Job]

$r_2=|z_2-z_1|=|a^2-a|=|a(a-1)|=|a|\cdot|a-1|=\frac{\sqrt 2}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2}|=\frac{1}{2}$
$r_3=|z_3-z_2|=|a^3-a^2|=|a^2(a-1)|=|a|^2\cdot |a-1|=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}$

La raison de la suite géométrique est comprise entre 0 et 1 donc $\lim L_n=r_0\times \frac{1}{1-\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$