Bonjour, je cherche de l'aide pour cet exercice de probabilité. MERCI D'AVANCE
Une urne U1 contient 2 boules rouges et 3 boules noires. U2 contient 3 rouges et 2 noires. On tire une boule de U1 et on la remet dans U2 puis on tire au hasard une boule de U2. On considère les événements
R1 : la boule tirée de U1 est rouge,
R2 la boule tirée de U2 est rouge
N1 : la boule tirée de U1 est noire
N2 la boule tirée de U2 est noire
1) Calculer P(R2), P(N1), P (R2/R1), P (R2/N1), P(R2), P(N2)
2) On répète n fois l’épreuve précédente en supposant les différentes épreuves indépendantes
a) Calculer en fonction de n la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge de U2
b) Déterminer la valeur minimale de n pour que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge de U2 soit supérieure à 0,99.
proba
Re: proba
Bonjour
1) $P(R_1=\frac{2}{5}$ et $P(N_1)=\frac{3}{5}$
$P(R_2/R_1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ et $P(R_2/N_1)==\frac{3}{6} =\frac{1}{2}$
D'après la formule des probabilités totales :
$P(R_2)=P(R_2\cap R_1) +P(R_2\cap N_1)=P(R_2/R_1)\times P(R_1)+P(R_2/N_1)\times P(N_1)$
$P(R_2)=\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} +\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}=\frac{4}{15} +\frac{3}{10} =\frac{17}{30}$
$P(N_2)=1-P(R_2)=\frac{13}{30}$
2) a) La probabilité de n'avoir aucune boule rouge est $n$ tirages est $(\frac{13}{30})^n$
La probabilité d'avoir au moins une boule rouge est donc $1-(\frac{13}{30})^n$
b) $1-(\frac{13}{30})^n>0,99$ soit $(\frac{13}{30})^n<0,01$
On peut utiliser la fonction $\ln$ (sinon par tâtonnement avec la calculatrice)
$n\ln (\frac{13}{30})<\ln (0,01)$ soit $n>\frac{\ln (0,01)}{\ln (\frac{13}{30})}$ ( l'inégalité change de sens car on divise par un négatif)
La valeur minimale de $n$ est 6.
1) $P(R_1=\frac{2}{5}$ et $P(N_1)=\frac{3}{5}$
$P(R_2/R_1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ et $P(R_2/N_1)==\frac{3}{6} =\frac{1}{2}$
D'après la formule des probabilités totales :
$P(R_2)=P(R_2\cap R_1) +P(R_2\cap N_1)=P(R_2/R_1)\times P(R_1)+P(R_2/N_1)\times P(N_1)$
$P(R_2)=\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} +\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}=\frac{4}{15} +\frac{3}{10} =\frac{17}{30}$
$P(N_2)=1-P(R_2)=\frac{13}{30}$
2) a) La probabilité de n'avoir aucune boule rouge est $n$ tirages est $(\frac{13}{30})^n$
La probabilité d'avoir au moins une boule rouge est donc $1-(\frac{13}{30})^n$
b) $1-(\frac{13}{30})^n>0,99$ soit $(\frac{13}{30})^n<0,01$
On peut utiliser la fonction $\ln$ (sinon par tâtonnement avec la calculatrice)
$n\ln (\frac{13}{30})<\ln (0,01)$ soit $n>\frac{\ln (0,01)}{\ln (\frac{13}{30})}$ ( l'inégalité change de sens car on divise par un négatif)
La valeur minimale de $n$ est 6.