! Cette semaine, je m'entraîne sur les exponentielles. Je voudrais qu'un spécialiste dans le mathématique m'aider à améliorer ma rédaction. Exercice 1:
1 ) Donner la définition, l’ensemble de définition et la dérivée de exp(x).
La fonction exponentielle est continu et dérivable sur R et (exp x)' = exp x . La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
2 ) Démontrer les formulations ou relations suivantes :
a ) La fonction exp(x) est strictement croissante sur son ensemble de définition.
On a démontré que la fonction exponentielle est continue et dérivable sur R et (exp)'=expx, et que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, exp(0) = 1 donc pour tout x, exp x > 0. Comme (exp x)' = exp x >0, la fonction exponentielle est strictement croissante.
b ) exp ( x + y )= exp (x) + exp ( y )
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = $\frac{exp(x+y)}{exp x}$ pour y réel fixé. (On sait que exp(x) n'est pas égal à 0 sur R).
La fonction g est dérivable sur R et g'(x) = $\frac{exp(x+y) exp(x) - exp (x + y) exp(x) }{(exp x)²}$ = 0; donc la fonction g est constante sur R, et égale à g(0) = $\frac{ exp(y) }{ exp 0 }$ = exp(y) . D'où $\frac{exp(x+y)}{exp x}$ = exp(y).
Ainsi, pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x)×exp(y).
c) Démontrer l'unicité de la fonction exp(x).
Désolé, je ne comprends rien à cette question
