devoir maison

[nico033]

Bonjour Job;

Pourriez vous m'aider pour mon devoir maison ci joints et surtout de l'énigme posé a la fin du sujet
en vous remerciant

[Job]

Bonjour

Problème de l'émir et de ses deux fils :

Réponse : chacun a pris le cheval de l'autre.

[Job]

1. $\forall x \in {\mathbb R}, (-x)\in {\mathbb R}$ et $f(-x)=\frac{\sin (-x)}{2+\cos (-x)}=\frac{-\sin x}{2+\cos x}=-f(x)$ donc $f$ est impaire.

Puisque $\sin$ et $\cos$ ont pour période $2\pi$, $f$ a pour période $2\pi$; Il suffit donc de l'étudier sur un intervalle d'amplitude $2\pi$ soit $[-\pi , +\pi]$
Et puisque $f$ est impaire, on peut réduire l'intervalle d'étude à $[0 ,\pi]$

2. On applique la formule de dérivation d'un quotient.
$f'(x)=\frac{\cos x (2+\cos x)-\sin x (-\sin x)}{(2+\cos x)^2}=\frac{2\cos x +\cos^2 x+\sin^2 x}{(2+\cos x)^2}=\frac{2\cos x +1}{(2+\cos x)^2}$

3. $\frac{2\cos x +1}{(2+\cos x)^2}=-1$
$2\cos x +1 =-(4+4\cos x +\cos^2 x)$
$\cos^2 x +6\cos x +5=0$

On pose $X=\cos x$ donc on résout $X^2+6X+5=0$. Solutions $X_1=-1$ et $X_2=-5$
$\cos x =-5$ n'a pas de solution.
$\cos x =-1$ lorsque $x=\pi$

4. Le dénominateur est strictement positif, $f'(x)$ a le signe de $2\cos x +1$
Sur $I$ : $f'(x)=0\Longleftrightarrow \cos x =-\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}$
$f'(x)>0\Longleftrightarrow \cos x >-\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x\in [0,\frac{2\pi}{3}]$
$f'(x)<0\Longleftrightarrow \cos x <-\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x\in [\frac{2\pi}{3}, \pi]$

5. À utiliser que $f$ est impaire et périodique.