proba

[syne1]

Bonsoir, je cherche de l'aide pour cet exercice qui me pose problème. MERCI D'AVANCE

[Job]

Bonjour

Partie A
1) a) Pour le premier tirage, il y a 8 possibilités et pour le second, 7 possibilités donc le cardinal de l'univers est égal à 8 x 7 = 56.
L'événement contraire de A est réalisé si on obtient 2 rouges soit 4 x 3 = 12 possibilités ou 2 verts soit 3 x 2 = 6 possibilités.
Donc $P(\bar A) =\frac{12+6}{56}=\frac{9}{28}$ et $P(A)=1-\frac{9}{28}=\frac{19}{28}$

b) L'événement contraire de B est réalisé si on obtient 2 cubes numéro 2 soit 5 x 4 = 20 possibilités donc
$P(\bar B)=\frac{20}{56}=\frac{5}{14})$ et $P(B)=1-\frac{5}{14} =\frac{9}{14}$

c) Il faut essayer de dénombrer tous les cas favorables.
Avec aucun numéro 2 en tenant compte de l'ordre : (R1 , V1) (2possibilités) et (V1 , R1) (2 possibilités)
Avec un rouge 2 : (R2 , V1) (3 x 2 = 6 possibilités) ou l'ordre inverse (6 possibilités)
Avec un vert 2 : (V2 , R1) (1 x 1 = 1 possibilité) ou l'ordre inverse : (1 possibilité)
Avec un jaune 2 : (J2 , R1) ou l'ordre inverse donc 2 x 1 possibilités et (J2 , V1) ou l'ordre inverse soit 2 x 2 = 4 possibilités.
$P(A\cap B) =\frac{4 +2\times 6+2\times 1 + 2+4}{56}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$

d) $P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)$ donc les événements A et B ne sont pas indépendants.

2) a) Avec 2 rouges : $P(X=2)=\frac{4\times 3}{56}=\frac{12}{56} =\frac{3}{14}$
Avec un rouge et un d'une autre couleur en tenant compte de 'ordre :
$P(X=1)=\frac{4\times 4 +4\times 4}{56}=\frac{32}{56}=\frac{4}{7}$
$P(X=0)=\frac{4\times 3}{56}=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$

b) $E(X)=2\times \frac{3}{14} +1\times \frac{4}{7} +0\times \frac{3}{14} = 1$

c) $V(X)=(2-1)^2\times \frac{3}{14} + (1-1)^2 \times \frac{4}{7} +(0-1)^2 \times \frac{3}{14} =\frac{6}{7}$

[Job]

Partie B
1) Le cardinal de l'univers est égal à ${8\choose 3}=56$
Nombre de possibilités avec aucun numéro 2 : ${3\choose 3}=1$
Nombre de possibilités avec un seul numéro 2 : ${5\choose 1}\times {3\choose 2}= 15$
$P(C)=\frac{1+15}{56} =\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$

2) On est en présence d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\frac{2}{7}$
L'événement contraire de $D_n$ est C n'est jamais réalisé donc
$p_n=P(D_n)=1- {n\choose 0} \times (\frac{2}{7})^0 \times (1-\frac{2}{7})^n=1-(\frac{5}{7})^n$

3) $p_{n+1}-p_n=[1-(\frac{5}{7})^{n+1}]- [1-(\frac{5}{7})^n]=(\frac{5}{7})^n(1-\frac{5}{7})=\frac{2}{7}\times (\frac{5}{7})^n>0$
Donc la suite est croissante.

$0<\frac{5}{7} <1$ donc $\lim(\frac{5}{7})^n =0$ et par conséquent $\lim p_n=1$