problème ouvert

[nico033]

Bonjour ;

Pourriez vous m'aider à faire l'exercice 2 de mon devoir;

sachant que sur l'exercice 1, je n'ai juste pas réussir à faire dans la partie B , les questions 2) a), b), c) et d)

Vous remerciant de votre aide

[nico033]

ci joints le sujet

[Job]

Bonjour

Exercice 1 Partie B-2.

a) On met $\frac{1}{n^2}$ en facteur :
$V_n=\frac{1}{n^2} (1+2+\cdots +n)$
La somme entre parenthèses est la somme de $n$ termes d'une suite arithmétique donc :
$V_n=\frac{1}{n^2} \times \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}$

$\frac{n+1}{2n}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{2n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}$
$\lim \frac{1}{n} =0$ donc $\lim V_n=\frac{1}{2}$

b) On fait une récurrence.
Initialisation : pour $n=1$ , $1^3\leq 1^4$
Hérédité : on suppose l'inégalité vérifiée à un rang $n$. On a alors :
$1^3+2^3 +\cdots +n^3 +(n+1)^3\leq n^4+(n+1)^3.$
On montre que $n^4+(n+1)^3\leq (n+1)^4$
Cette inégalité équivaut à $n^4\leq (n+1)^4-(n+1)^3$ soit
$n^4\leq (n+1)^3 (n+1-1)$
En simplifiant par $n$ : $n^3\leq (n+1)^3$ ce qui est vérifié.

c) Je n'ai pas le texte de la partie A donc je ne peux pas répondre.

d) $\lim \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{n^2}=0$ donc par encadrement (ou théorème des gendarmes) , $\lim S_n=\lim V_n=\frac{1}{2}$

[Job]

Exercice 2

1. $h'(x)=3ax^2+2bx+c$
$h(0)=1$ donc $d=1$
$h'(0)=0$ donc $c=0$
On a donc déjà $h(x)=ax^3+bx^2+1$ et $h'(x)=3ax^2+2bx$

$h(2l)=0$ donc $8al^3+4bl^2+1=0$
$h'(2l)=0$ donc $12al^2+4bl=0$ soit $4l(3al+b)=0$ donc $3al+b=0$ et $b=-3al$ (car $l\neq 0$)

En remplaçant dans l'autre équation : $8al^3-12al^3+1=0$
$-4al^3=-1$ soit $a=\frac{1}{4l^3}$
On a alors $b=-3(\frac{1}{4l^3})(l)=\frac{-3}{4l^2}$

2. a. En remplaçant, on a $h'(x)=\frac{3}{4l^3}x^2-\frac{3}{2l^2}x$

b. $h"(x)=\frac{3}{2l^3}x-\frac{3}{2l^2}=\frac{3}{2l^2}(\frac{x}{l}-1)$
$h"(x)=0$ pour $x=l$ ; $h"(x)<0$ pour $x\in [0,l[$ ; $h"(x)>0$ pour $x\in ]l, 2l]$

On en déduit que $h'$ est décroissante sur $[0, l]$ et croissante sur $[l, 2l]$ donc admet un minimum en $l$.

c. La pente de la rampe représente $-h'(x)$, elle est donc maximale pour $x=l$
Pour respecter les conditions on a donc $l\leq 0,1$
La longueur minimale au sol de la rampe est donc 0,2 dm.