Bonsoir;
J'ai un devoir maison apparemment assez difficile pour la rentrée, pourriez vous m'aider à le faire si c'est possible ?
Je vous joins le sujet en PJ;
Merci à vous;
dm suites
dm suites
- Pièces jointes
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Re: dm suites
Bonsoir
Certaines questions ne sont pas très difficiles (surtout au début des exercices). Le plus intéressant serait, pour vous, d'essayer d'avancer dans les exercices et je vous aiderai au fur et à mesure quand vous n'arrivez pas à faire certaines questions.
Certaines questions ne sont pas très difficiles (surtout au début des exercices). Le plus intéressant serait, pour vous, d'essayer d'avancer dans les exercices et je vous aiderai au fur et à mesure quand vous n'arrivez pas à faire certaines questions.
Re: dm suites
Bonjour Job;
Oui je comprend tout à fait, mais le problème c'est même avec le cours avec moi, et les devoirs fait sur ce chapitre, je n'arrive pas à comprendre les questions, et donc à le démarrer ;
Pourriez vous si cela ne vous gène pas, de m'aider à le démarrer ?
Merci par avance
Oui je comprend tout à fait, mais le problème c'est même avec le cours avec moi, et les devoirs fait sur ce chapitre, je n'arrive pas à comprendre les questions, et donc à le démarrer ;
Pourriez vous si cela ne vous gène pas, de m'aider à le démarrer ?
Merci par avance
Re: dm suites
Bonjour
Exercice 1
1.(a) $u_1=\frac{1}{2} (u_0+\frac{a}{u_0})$
Il s'agit de résoudre l'équation: $u_1=u_0$ soit $\frac{1}{2} (u_0+\frac{a}{u_0})=u_0$ ce qui conduit à une équation du second degré d'inconnue $u_0$ qu'on détermine en fonction de $a$
(On obtient 2 solutions mais une seule telle que $u_0>0$.)
(b) Une récurrence :
l'initialisation est faite par la question (a).
Pour l'hérédité, on suppose qu'à un rang $n$ $u_n$ est égal à la valeur trouvée en (a) et on calcul $u_{n+1}$ qui doit redonner cette même valeur.
2. On calcule $u_{n+1}-\sqrt a$ en réduisant tout au dénominateur $2u_n$ et ensuite, il faut penser à une identité remarquable.
3. On calcule $u_{n+1}-u_n$ en réduisant tout au dénominateur $2u_n$.
Pour pouvoir trouver le signe de cette différence, il faut utiliser la seconde question : l'égalité $u_{n+1}-\sqrt a =\frac{1}{2u_n} (u_n-\sqrt a)^2$ montre qu'à partir du rang 1, les termes de la suite sont strictement supérieurs à $\sqrt a$ et donc que $u_n^2>a$
Voyez déjà si vous êtes parvenu à faire ces questions.
Exercice 1
1.(a) $u_1=\frac{1}{2} (u_0+\frac{a}{u_0})$
Il s'agit de résoudre l'équation: $u_1=u_0$ soit $\frac{1}{2} (u_0+\frac{a}{u_0})=u_0$ ce qui conduit à une équation du second degré d'inconnue $u_0$ qu'on détermine en fonction de $a$
(On obtient 2 solutions mais une seule telle que $u_0>0$.)
(b) Une récurrence :
l'initialisation est faite par la question (a).
Pour l'hérédité, on suppose qu'à un rang $n$ $u_n$ est égal à la valeur trouvée en (a) et on calcul $u_{n+1}$ qui doit redonner cette même valeur.
2. On calcule $u_{n+1}-\sqrt a$ en réduisant tout au dénominateur $2u_n$ et ensuite, il faut penser à une identité remarquable.
3. On calcule $u_{n+1}-u_n$ en réduisant tout au dénominateur $2u_n$.
Pour pouvoir trouver le signe de cette différence, il faut utiliser la seconde question : l'égalité $u_{n+1}-\sqrt a =\frac{1}{2u_n} (u_n-\sqrt a)^2$ montre qu'à partir du rang 1, les termes de la suite sont strictement supérieurs à $\sqrt a$ et donc que $u_n^2>a$
Voyez déjà si vous êtes parvenu à faire ces questions.
Re: dm suites
Bonjour ;
Oui en fait je suis assez content j'ai réussi à faire les premières questions , je bloque sur les autres exercices
Oui en fait je suis assez content j'ai réussi à faire les premières questions , je bloque sur les autres exercices
Re: dm suites
Bonjour
Suite de l'exercice 1 - question 5
(a) En utilisant la question 2, on montre que $v_{n+1}=(v_n)^2$
(b) Par récurrence :
Pour l'hérédité : si $v_n=v_0^{2^n}$ alors $v_{n+1} =(v_n)^2=[v_0^{2^n}]^2=v_0^{2^n\times 2} =v_0^{2^{n+1}}$
(c) $u_0-\sqrt a < u_0+\sqrt a$ et $u_0+\sqrt a>0$ donc $\frac{u_0-\sqrt a}{u_0+\sqrt a}<1$
$-u_0-\sqrt a < u_0-\sqrt a$ donc en divisant paar $u_0+\sqrt a$ on obtient $-1<\frac{u_0-\sqrt a}{u_0+\sqrt a}$
(d) $v_n=v_0^{2^n}$ et $-1<v_0<1$ donc $\lim v_n=0$ et par définition de la suite $v$, on déduit que la suite $u$ a comme limite $\sqrt a$
Exercice 2
1. Pas très compliqué.
2. $u_n-2=135 \sum_{k=1}^n \frac{1}{10^{3k}}=135\sum_{k=1}^n (\frac{1}{10^3})^k$
$\sum_{k=1}^n (\frac{1}{10^3})^k$ est la somme de n termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{10^3}$ et de premier terme $\frac{1}{10^3}$ donc :
$\sum_{k=1}^n (\frac{1}{10^3})^k=\frac{1}{10^3}\times \frac{1-(\frac{1}{10^3})^n}{1-\frac{1}{10^3}}=\frac{1-(\frac{1}{10^3})^n}{999}$
3. Je vous laisse terminer, vous devez trouver : $p=\frac{2133}{999}$
Suite de l'exercice 1 - question 5
(a) En utilisant la question 2, on montre que $v_{n+1}=(v_n)^2$
(b) Par récurrence :
Pour l'hérédité : si $v_n=v_0^{2^n}$ alors $v_{n+1} =(v_n)^2=[v_0^{2^n}]^2=v_0^{2^n\times 2} =v_0^{2^{n+1}}$
(c) $u_0-\sqrt a < u_0+\sqrt a$ et $u_0+\sqrt a>0$ donc $\frac{u_0-\sqrt a}{u_0+\sqrt a}<1$
$-u_0-\sqrt a < u_0-\sqrt a$ donc en divisant paar $u_0+\sqrt a$ on obtient $-1<\frac{u_0-\sqrt a}{u_0+\sqrt a}$
(d) $v_n=v_0^{2^n}$ et $-1<v_0<1$ donc $\lim v_n=0$ et par définition de la suite $v$, on déduit que la suite $u$ a comme limite $\sqrt a$
Exercice 2
1. Pas très compliqué.
2. $u_n-2=135 \sum_{k=1}^n \frac{1}{10^{3k}}=135\sum_{k=1}^n (\frac{1}{10^3})^k$
$\sum_{k=1}^n (\frac{1}{10^3})^k$ est la somme de n termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{10^3}$ et de premier terme $\frac{1}{10^3}$ donc :
$\sum_{k=1}^n (\frac{1}{10^3})^k=\frac{1}{10^3}\times \frac{1-(\frac{1}{10^3})^n}{1-\frac{1}{10^3}}=\frac{1-(\frac{1}{10^3})^n}{999}$
3. Je vous laisse terminer, vous devez trouver : $p=\frac{2133}{999}$
Re: dm suites
Bonsoir Job;
OK je vous remercie ... Je vais le terminer ; dans ce cas pourriez vous m'aider pour les autres exercices si vous avez le temps ?
merci par avance
OK je vous remercie ... Je vais le terminer ; dans ce cas pourriez vous m'aider pour les autres exercices si vous avez le temps ?
merci par avance
Re: dm suites
Bonjour
Exercice 3
1. Un simple calcul.
2. $\forall n \in {\mathbb N}^*,\ 1+\frac{1}{n+3}\leq 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
Donc $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq \frac{3}{4}\times \frac{5}{4}=\frac{15}{16}<1$
Tous les termes de la suite sont strictement positifs et $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ soit $u_{n+1}<u_n$ donc la suite est strictement décroissante.
La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge.
3. $u_0=1$. Tous les termes de la suite appartiennent à ]0 , 1].
La suite converge, soit $L$ sa limite. $L\in [0,1]$
Supposons $L>0$.
Puisque la suite est décroissante et converge vers L, Il existe un rang $n$ tel que, par exemple, $u_n-L<\frac{1}{10}L$ soit $u_n<\frac{11}{10} L$
D'après la question 1, $u_{n+1}<\frac{3}{4} u_n$.
On a alors $u_{n+1}< \frac{3}{4}\times \frac{11}{10}L=\frac{33}{40} l<L$ ce qui contredit $L$ limite d'une suite décroissante.
Conclusion : la suite a pour limite 0.
Exercice 3
1. Un simple calcul.
2. $\forall n \in {\mathbb N}^*,\ 1+\frac{1}{n+3}\leq 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
Donc $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq \frac{3}{4}\times \frac{5}{4}=\frac{15}{16}<1$
Tous les termes de la suite sont strictement positifs et $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ soit $u_{n+1}<u_n$ donc la suite est strictement décroissante.
La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge.
3. $u_0=1$. Tous les termes de la suite appartiennent à ]0 , 1].
La suite converge, soit $L$ sa limite. $L\in [0,1]$
Supposons $L>0$.
Puisque la suite est décroissante et converge vers L, Il existe un rang $n$ tel que, par exemple, $u_n-L<\frac{1}{10}L$ soit $u_n<\frac{11}{10} L$
D'après la question 1, $u_{n+1}<\frac{3}{4} u_n$.
On a alors $u_{n+1}< \frac{3}{4}\times \frac{11}{10}L=\frac{33}{40} l<L$ ce qui contredit $L$ limite d'une suite décroissante.
Conclusion : la suite a pour limite 0.
Re: dm suites
Bonjour JOb;
Je vais étudier tout ceci, merci bcp de votre aide
Je vais étudier tout ceci, merci bcp de votre aide
Re: dm suites
Bonjour
Exercice 4
1.(a) Du calcul
(b) Par une récurrence immédiate, tous les termes des 2 suites sont strictement positifs.
Par conséquent $\forall n \in {\mathbb N}, a_{n+1}-b_{n+1}>0$ donc $\forall n \in {\mathbb N}^*,\ a_n-b_n>0$
2. $\forall n\in {\mathbb N},\ a_{n+1}-a_n=\frac{b_n-a_n}{2}<0$ à partir du rang 1. La suite $a$ est donc décroissante à partir du rang 1.
$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_n+b_n}<1$ donc la suite $b$ est décroissante.
3. Les 2 suites sont décroissantes, minorées par 0 donc elles convergent.
Soit $L$ la limite de $a$ et $L'$ la limite de $b$.
En passant à la limite, les 2 membres de l'égalité $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$, on obtient : $L=\frac{L+L'}{2}$ d'où on déduit L=L'$.$
Exercice 4
1.(a) Du calcul
(b) Par une récurrence immédiate, tous les termes des 2 suites sont strictement positifs.
Par conséquent $\forall n \in {\mathbb N}, a_{n+1}-b_{n+1}>0$ donc $\forall n \in {\mathbb N}^*,\ a_n-b_n>0$
2. $\forall n\in {\mathbb N},\ a_{n+1}-a_n=\frac{b_n-a_n}{2}<0$ à partir du rang 1. La suite $a$ est donc décroissante à partir du rang 1.
$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_n+b_n}<1$ donc la suite $b$ est décroissante.
3. Les 2 suites sont décroissantes, minorées par 0 donc elles convergent.
Soit $L$ la limite de $a$ et $L'$ la limite de $b$.
En passant à la limite, les 2 membres de l'égalité $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$, on obtient : $L=\frac{L+L'}{2}$ d'où on déduit L=L'$.$