théorème de Ménélaus

[yann]

Bonsoir Job

On considère un triangle ABC

M,N et P sont des points situés respectivement sur les droites ( BC) (CA) et (AB) et distincts des points A,B et C

on cherche à déterminer une condition nécessaire et suffisante d'alignement des points M,N et P

1 a ) Justifier l'existence d'un réel a tel que $\overrightarrow{PA}= a\overrightarrow{PB}$ un réel b tel que $\overrightarrow{NC}=b\overrightarrow{NA}$
un réel c tel que $\overrightarrow{MC}=c\overrightarrow{MB}$

b ) Justifier que a,b et c sont différents de 1

Screen Shot 2017-11-11 at 18.26.14.png (35.74 Kio) Consulté 6681 fois

[Job]

Bonjour Yann

D'abord une remarque : sur la figure les points $N$ et $P$ sont intervertis car on doit avoir $N\in (CA)$ et $P\in(AB)$

1.a) $P$ appartenant à $(AB)$ les vecteurs $\overrightarrow{PA}$ et $\overrightarrow{PB}$ sont colinéaires donc il existe un réel $a$ tel que $\overrightarrow{PA}=a\overrightarrow{PB}$
Même justification pour les deux autres.

b) Si $a=1,\ \overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}$ donc les points $A$ et $B$ sont confondus, ce qui est en contradiction avec $ABC$ triangle.

[yann]

Bonsoir Job

3 ) - a ) déterminer que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1-c}\overrightarrow{AB}-\frac{c}{1-c}\overrightarrow{AC}$

b ) En déduire les coordonnées du point M

je ne vois pas comment faire apparaitre la fraction $\frac{1}{1-c}$

pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

[Job]

Bonjour Yann

Il y a des problèmes dans le texte de votre exercice.

Partant de la relation donnée : $\overrightarrow{MC}=c\overrightarrow{MB}$, on introduit le point $A$ :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=c(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})$
$\overrightarrow{MA}-c\overrightarrow{MA}=c\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$
$(1-c)\overrightarrow{MA}=c\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{MA}=\frac{c}{1-c}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{1-c}\overrightarrow{AC}$
Donc en prenant l'opposé : $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1-c}\overrightarrow{AC}-\frac{c}{1-c}\overrightarrow{AB}$

Pour arriver à l'expression donnée, il faudrait modifier le texte avec $\overrightarrow{MB}=c\overrightarrow{MC}$ qui permute les rôles de $B$ et $C$

[yann]

Bonjour Job

Toutes mes excuses !!!!!!!!!

On considère un triangle ABC.
M,N et P sont trois points situés respectivement sur les droites (BC),(CA) et (AB) distincts des points A,B et C

c'est de ma faute : j'ai placé le point C à la place du point B
il est pourtant dit, dans l'énoncé : la droite ( BC ) donc on doit lire de B vers C puisque la droite indique une direction

[yann]

Bonsoir

J'ai refait la figure avec la droite (BC) qui commence par le point B et pas par le point C comme pour la figure de mon premier message

Screen Shot 2017-11-19 at 19.38.00.png (44.29 Kio) Consulté 6647 fois

[yann]

Bonjour Job

3 ) Démontrer que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1-c}\overrightarrow{AB}-\frac{c}{1-c}\overrightarrow{AC}$
b ) En déduire les coordonnées du point M

4 ) a ) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{PA}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$

b ) En déduire les coordonnées du point P et montrer que le vecteur $\overrightarrow{MP}$ a pour coordonnées :

$\frac{ac - 1}{\left(1 - a\right)\left(1-c\right)};\frac{c}{1-c}$


Est ce que la question 3 ) a) doit permettre de trouver que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MP}$ sont
$\frac{ac - 1}{\left(1-a\right)\left(1-c\right)};\frac{c}{1-c}$

[Job]

Bonjour Yann

Tout d'abord la figure n'a aucune importance et une droite n'a pas d'orientation de $B$ vers $C$ ou de $C$ vers $B$.
Mais il y a une erreur de texte dans la définition de $M$, il faut prendre l'hypothèse : $\overrightarrow{MB}=c\overrightarrow{MC}$

3) On introduit le point $A$ avec la relation de Chasle dans l'égalité précédente :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=c(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})$
$(1-c)\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}$
$(1-c)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-c\overrightarrow{AC}$
Soit en divisant par $(1-c)$ : $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1-c} \overrightarrow{AB}-\frac{c}{1-c}\overrightarrow{AC}$
Je suppose que la base est $(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC})$ donc les coordonnées de $M$ sont $(\frac{1}{1-c} , -\frac{c}{1-c})$

4) a) $\overrightarrow{PA}=a(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB})$
$(1-a)\overrightarrow{PA}=a\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{PA}=\frac{a}{1-a}\overrightarrow{AB}$

b) $\overrightarrow{AP}=-\frac{a}{1-a}\overrightarrow{AB}$
L'origine du repère étant $A$, $P$ a pour coordonnées $(-\frac{a}{1-a} , 0$

Coordonnées de $\overrightarrow{MP} : (-\frac{a}{1-a}-\frac{1}{1-c} ; 0+\frac{c}{1-c})=(\frac{-a+ac-1+a}{(1-a)(1-c)} ; \frac{c}{1-c})$

[yann]

Bonjour Job

pour la 4) a )

en partant de l'égalité $\overrightarrow{PA}=a\overrightarrow{PB}$ et avec la relation de Chasles, on a : $\overrightarrow{PA}=a\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}\right)$
il me reste à passer le $a\overrightarrow{PA}$ de l'autre coté, et à factoriser
$\left(1-a\right) \overrightarrow{PA}=a\overrightarrow{AB}$

en divisant par $\left(1-a\right)$ cela donne : $\overrightarrow{PA}=\frac{a}{1-a}\overrightarrow{PA}$

jusque là, c'est oK

mais à la b ) je ne comprends pas pourquoi on prend l'opposé du vecteur $\overrightarrow{PA}$

[Job]

Bonjour Yann

Puisque $A$ est l'origine du repère, les coordonnées de $P$ sont elles du vecteur $\overrightarrow{AP}$