suites

[syne1]

Bonjour, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE

Soit les suite $(U_{n})$ et $(V_{n})$ définie par
$U_{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$ et $V_{n}=n(sin x)^{n-1}$ pour $n>0$ avec $x∈]0;\frac{\pi}{6}[$
1°/ Montrer que $V_{n}≤U_{n}$ En déduire lim de $U_{n}$ quand n tend vers $+∞$
2°/ Montrer que pour tout $n>0$ on a : $V_{n+1}=sinx V_{n}+(sin x)^{n}$
3°/ On pose $T_{n}=1+2sin x +3(sin x)^{2}+......+(sin x)^{n-1}$ pour tout$n>0$
Démontrer que $T_{n}=-(sinx) V_{n}+\frac{1-sin^{n}x}{1-sin x}$
En déduire lim de $T_{n}$ quand n tend vers $+∞$

[Job]

Bonjour

Je pense que votre texte comporte plusieurs erreurs

1°/ $0<\sin x < \sin \frac{\pi}{6}$ soit $0<\sin x <\frac{1}{2}$ donc $(\sin x)^{n-1}<\frac{1}{2^{n-1}}$ s'où on déduit $0<V_n<U_n$

(Je pense que c'est la limite de $V_n$ qu'il faut déduire.

$(\frac{1}{2^{n-1}})$ est une suite géométrique qui converge vers 0 et une suite géométrique domine une fonction polynôme donc $(U_n)$ converge vers 0. Par encadrement, $\lim V_n=0$

2°/ $V_{n+1}=(n+1)(\sin x)^n=n\sin x (\sin x)^{n-1}+(\sin x)^n=\sin x V_n+(\sin x)^n$

3°/ Je pense qu'il manque un n dans l'écriture de $T_n$ et que l'égalité à démontrer n'est pas juste.

$T_n=V_1+V_2+V_3+\cdots +V_n$
En utilisant le résultat de la question 2 :
$T_n=1+\sin x V_1+\sin x +\sin x V_2+(\sin x)^2 +\cdots +\sin x V_{n-1}+(\sin x)^{n-1}$
$T_n=\sin x (V_1+V_2+\cdots +V_{n-1})+1+\sin x +(\sin x)^2 +\cdots +(\sin x)^{n-1}$
$T_n=\sin x (T_n-V_n)+\frac{1-(\sin x)^n}{1-\sin x}$ (somme des termes d'une suite géométrique de raison $\sin x$.
$T_n(1-\sin x)=-(\sin x) V_n+\frac{1-(\sin x)^n}{1-\sin x}$

$\lim V_n=0$ et $\lim (\sin x)^n=0$ donc $\lim T_n(1-\sin x)=\frac{1}{1-\sin x}$
Soit $\lim T_n=\frac{1}{(1-\sin x)^2}$

[syne1]

Bonjour job
Oui il y a des erreurs
dans 1°/ vous avez raison c'est la limite de $V_{n}$ et non de $U_{n}$

dans 3°/ il y a erreur aussi , il manque un n
Donc 3°/ On pose $T_{n}=1+2sin x +3(sin x)^{2}+......+n(sin x)^{n-1}$ pour tout$n>0$
Et merci infiniment