Bonjour, je voudrais de l'aide pour ces deux exercices. MERCI D'AVANCE
EXERCICE 1
On définit une suite $(U_{n})$ par : $U_{0}=\frac{1}{2}$ et $U_{n+1}=\frac{U_{n}}{U_{n}-1}$
1) Montrer que $(U_{n})$ est une suite périodique de période 2
2) En déduire $U_{55}$ et $U_{2016}$
EXERCICE 2
On pose $U_{n}=1+3+5+.........+(2n-1)$
1) Calculer $U_{1}, U_{2} ~ et~ U_{3}$
2) Démontrer par récurrence que $U_{n}=n^{2}$
3) En déduire lza valeur de la somme $S=39+41+43+45+................+441$
suite
Re: suite
Bonjour
Exercice 1
1) $U_{n+2}=\frac{U_{n+1}}{U_{n+1}-1}=\frac{\frac{U_n}{U_n-1}}{\frac{U_n}{U_n-1}-1}=\frac{\frac{U_n}{U_n-1}}{\frac{1}{U_n-1}}=U_n$
Donc la suite est périodique de période 2.
2) $U_1=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=-1$
Puisque la suite est périodique de période 2, tous les termes d'indice pair sont égaux à $U_0$ et tous les termes d'indice impair sont égaux à $U_1$ donc $U_{55}=-1$ et $U_{20I6}=\frac{1}{2}$
Exercice 2
1) $U_1=1$ ; $U_2=1+3=4$ ; $U_3 =1+3+5=9$
2) Initialisation : égalité vérifiée pour $n=1$
Hérédité : on suppose l'égalité vérifiée au rang $n$
$U_{n+1}=U_n+[2(n+1)-1]=n^2+2n+1=(n+1)^2$ donc l'égalité est vérifiée au rang $n+1$.
3) $441 =442-1=2\times 221 -1$ et $37=38-1=2\times 19-1$
Donc $S=U_{221}-U_{19}=221^2-19^2=48480$
Exercice 1
1) $U_{n+2}=\frac{U_{n+1}}{U_{n+1}-1}=\frac{\frac{U_n}{U_n-1}}{\frac{U_n}{U_n-1}-1}=\frac{\frac{U_n}{U_n-1}}{\frac{1}{U_n-1}}=U_n$
Donc la suite est périodique de période 2.
2) $U_1=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=-1$
Puisque la suite est périodique de période 2, tous les termes d'indice pair sont égaux à $U_0$ et tous les termes d'indice impair sont égaux à $U_1$ donc $U_{55}=-1$ et $U_{20I6}=\frac{1}{2}$
Exercice 2
1) $U_1=1$ ; $U_2=1+3=4$ ; $U_3 =1+3+5=9$
2) Initialisation : égalité vérifiée pour $n=1$
Hérédité : on suppose l'égalité vérifiée au rang $n$
$U_{n+1}=U_n+[2(n+1)-1]=n^2+2n+1=(n+1)^2$ donc l'égalité est vérifiée au rang $n+1$.
3) $441 =442-1=2\times 221 -1$ et $37=38-1=2\times 19-1$
Donc $S=U_{221}-U_{19}=221^2-19^2=48480$