SUITE

[syne1]

Bonjour, je voudrais de l'aide pour ces exercices. MERCI D'AVANCE

[Job]

Bonjour

Exercice 1

1) On factorise par $y^n$ au numérateur et au dénominateur.
$U_n\frac{y^n((\frac{x}{y})^n -1}{y^n(\frac{x}{y})^n+1}=\frac{(\frac{x}{y})^n-1}{(\frac{x}{y})^n+1}$

2) Soit $z=\frac{x}{y}$ avec $z>0$. On a donc $U_n=\frac{z^n-1}{z^n+1}$

* Si $0<z<1$ alors $\lim z^n=0$ donc $\lim U_n=-1$

* Si $z=1$ alors $U$ est la suite nulle.

* Si $z>1$ on factorise par $z^n$ :
$U_n=\frac{z^n(1-\frac{1}{z^n})}{z^n(1+\frac{1}{z^n}}=\frac{1-\frac{1}{z^n}}{1+\frac{1}{z^n}}$
$\lim \frac{1}{z^n}=0$ donc $\lim U_n=1$

Je traiterai les autres demain.

[Job]

Bonjour

Exercice 2
1) $U_{n+1}-U_n=\frac{1}{(n+1)^2}>0$ donc la suite est strictement croissante.

2) $\frac{1}{p-1}-\frac{1}{p}=\frac{p-(p-1)}{p(p-1)}=\frac{1}{p(p-1)}\geq \frac{1}{p^2}$ car $p(p-1)<p^2$

3) En appliquant l'inégalité précédente :
$\frac{1}{2^2}\leq \frac{1}{1}-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3^2}\leq \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
....................................................
$\frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
En additionnant membre à membre ces inégalités :
$1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\leq 1+\frac{1}{1} -\frac{1}{2} +\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\cdots +\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
Il reste $U_n\leq 2-\frac{1}{n}$

4) On a donc $0<U_n\leq 2$. La suite est donc bornée.

[Job]

Exercice 3

1) $b_{n+1}=\sqrt{1+24a_{n+1}}=\sqrt{1+\frac{3}{2} (1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})}=\sqrt{\frac{5}{2} +6a_n +\frac{3}{2}\sqrt {1+24a_n}}$
$\frac{1}{2}(b_n+3)=\frac{1}{2} (\sqrt{1+24a_n}+3)$
$\left(\frac{1}{2} (b_n+3)\right)^2=\frac{1}{4} (1+24a_n +9+6\sqrt{1+24a_n})=\frac{5}{2} +6a_n+\frac{3}{2} \sqrt{1+24a_n}$
Comme $\frac{1}{2}(b_n+3)>0$, on a donc bien $b_{n+1} =\frac{1}{2} (b_n+3)$

La suite $(b_n)$ est une suite arithmético-géométrique (voir la méthode correspondante en méthodologie sur ce forum
Soit $u_n=b_n-3$
$u_{n+1} =b_{n+1}-3=\frac{1}{2} (b_n+3)-3=\frac{1}{2} (b_n-3)=\frac{1}{2} u_n$
Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$
$b_1=\sqrt{25}=5$ donc $u_1=2$ et $u_n+2\times (\frac{1}{2}) ^{n-1}=\frac{1}{2^{n-2}}$
$b_n=u_n+3=\frac{1}{2^{n-2}}+3$

2) $b_n^2=1+24a_n$ donc $a_n=\frac{1}{24} (b_n^2-1)=\frac{1}{24} [(\frac{1}{2^{n-2}}+3)^2-1]$
$=\frac{1}{24}(\frac{1}{2^{2n-4}}+9+\frac{3}{2^{n-1}}-1)$
$=\frac{1}{2^3\times 3}(\frac{1}{2^{2n-4}}+8+\frac{3}{2^{n-1}})$
$=\frac{1}{3\times 2^{2n-1}}+\frac{1}{3} +\frac{1}{2^{n+1}}$
Le texte comporte une petite erreur.

[Job]

Bonjour

Exercice 4
Des démonstrations par récurrence
1) a) Initialisation : $S_1=\frac{1}{U_1}$
$U_1(2S_1-U_1)=U_1(\frac{2}{U_1}-U_1)=2-U_1^2=-U_2$

b) Hérédité : On suppose vérifié au rang $n$ : $U_1\cdots U_n(2S_n-U_1)=-U_{n+1}$
$S_{n+1}= S_n+\frac{1}{U_1\cdots U_{n+1}}$
$U_1\cdots U_{n+1} (2S_{n+1}-U_1))= U_1\cdots U_{n+1} (2S_n+\frac{2}{U_1\cdots U_{n+1}}-U_1)=U_1\cdots U_{n+1} (2S_n-U_1)+2$
$=U_1\cdots U_n (2S_n-U_1)U_{n+1}+2=-U_{n+1}^2+2 =-U_{n+2}$ (en utilisant l'hypothèse de récurrence)

2) a) Initialisation : $S_1^2-U_1S_1+1=\frac{1}{U_1^2}-U_1\cdot \frac{1}{U_1}+1=\frac{1}{U_1^2}$

b) Hérédité : on suppose vérifié au rang $n\ :\ S_n^2-U_1S_n +1 =\frac{1}{(U_1\cdots U_n)^2}$
$S_{n+1}^2 -U_1S_{n+1} +1 = \left(S_n+\frac{1}{U_1\cdots U_{n+1}}\right)^2 -U_1\left( S_n+\frac{1}{U_1\cdots U_{n+1}}\right) +1$
$=S_n^2+\frac{2S_n}{U_1\cdots U_{n+1}}+\frac{1}{(U_1\cdots U_{n+1})^2} -U_1S_n-\frac{1}{U_2\cdots U_{n+1}} +1$
$=\frac{1}{(U_1\cdots U_n)^2}+\frac{2S_n-U_1}{U_1\cdots U_{n+1}}+\frac{1}{(U_1\cdots U_{n+1})^2}$ (en utilisant l'hypothèse de récurrence)
$=\frac{1}{(U_1\cdots U_{n+1})^2} +\frac{1}{(U_1\cdots U_n)^2}+\frac{-U_{n+1}}{(U_1\cdots U_n)(U_1\cdots U_{n+1})}$ en utilisant le résultat de la question 1.
$=\frac{1}{(U_1\cdots U_{n+1})^2} +\frac{1}{(U_1\cdots U_n)^2}+\frac{-1}{(U_1\cdots U_n)^2}=\frac{1}{(U_1\cdots U_{n+1})^2} $

[benoitkwyk]

Bonjour,

Vous pouvez également vous entraîner sur les suites sur le site de http://www.kwyk.fr. Il propose des exercices de première en nombre important, ce qui vous permettra de progresser.

Bon courage.