Bonjour
La question c) pose effectivement un problème.
Après avoir multiplié et diviser par l'expression conjuguée, le dénominateur est positif donc l'expression a le signe de son numérateur soit en remplaçant $x^2$ par $t$, $g(t)=-(t^2-4t+m^2)$ avec $0\leq t\leq 4$
Mais si on prend, par exemple $t=1,\ m=1$ alors $ -(t^2-4t+m^2)=-(1-4+1)=2$
$g(t)$ n'est donc pas négatif quel que soit $m$.
Pour que ce soit inférieur ou égal à 0 pour tout $t$, il faut supposer que $m\geq 2$.
On a alors : $g(t)=-[(t-2)^2+m^2-4]$. Si $m\geq 2$ alors, pour tout $t$, $g(t)\leq 0$
La valeur maximale de $f(x)-m$ est obtenue quand $g(t)=0$ donc pour $t=2$ et $m^2=4$ soit $x=\sqrt 2 $ et $m=2$