Voici l'énoncé :
On souhaite comparer deux jeux de hasard en étudiant les variables aléatoires X et Y qui associent à chaque jeu le gain correspondant en euros. Les lois de probabilité de X et Y sont les suivantes : (voir les tableaux en fichier joint).
- Tableau.png (10.15 Kio) Consulté 2416 fois
a) Calculer E(X) et E(Y). Interpréter l'espéra,ce pour comparer les deux jeux.
b) Calculer σ(X) et σ(Y). Quelle information supplémentaire peut-on en déduire de ces paramètres ?
Voici mes réponses:
a) E(X) = Σ xi.pi
= -2*1/4 + 1*1/3 + 2*1/4 + 5*1/12 + 10*1/12
= -2/4 + 1/3 + 2/4 + 5/12 + 10/12
= 19/12 = (environ) 1.58 ou 2 euros
E(Y) = Σ xi.pi (i= 1 à i = n)
= -5*1/3 + 1*1/6 + 2*1/12 + 5*1/4 + 10* 1/6
= -5/3 + 1/6 + 2/12 + 5/4 + 10/6
= 19/12 = (environ) 1.58 ou 2 euros
Le gain moyen correspondant en euros pour les deux jeux sont identiques.
Ainsi, le gain moyen est de 2 euros pour ces deux jeux.
b) σ(X) = racine carrée de V(X)
V(X) = Σ xi².pi – [E(X)]² (i = 1 à i = n)
= (-2)²*1/4 + 1²*1/3 + 2²*1/4 + 5²*1/12 + 10²*1/12 – (19/12)²
= 4*1/4 + 1*1/3 + 4*1/4 + 25*1/12 + 100*1/12 – 361/144
= 4/4 + 1/3 + 4/4 + 25/12 + 100/12 – 361/144
= 153/12 – 361/144
= 1475/144 = (environ) 10.24
donc σ(X) = racine carrée de V(X)
= V(1475/144)
= (environ) 3.20
σ(Y) = racine carrée de V(Y)
V(Y) = Σ xi².pi – [E(Y)]² (i = 1 à i = n)
= (-5)²*1/3 + 1²*1/6 + 2²*1/12 + 5²*1/4 + 10²*1/6 – (19/12)²
= 25*1/3 + 1*1/6 + 4*1/12 + 25*1/4 + 100*1/6 – 361/144
= 25/3 + 1/6 + 4/12 + 25/4 + 100/6 – 361/144
= 381/12 -361/144
= 4211/144 = (environ) 29.24
donc σ(Y) = racine carrée de V(Y)
= V(4211/144)
= (environ) 5.41
On peut donc en déduire que l'espérance est la même pour les deux jeux mais l'écart-type est plus grand pour X = Y, ce qui signifie que les gains du deuxième jeu sont plus dispersés autour de la moyenne des gains que ceux pour le premier jeu. Ici, je ne sais pas quoi mettre d'autre.
Mes réponses sont-elles justes ?
Merci pour votre aide.
